1、3.2 简单的三角恒等变换(二)关键能力合作学习 类型一 角的变换问题(逻辑推理、数学运算)【典例】1.求值:sin(+75)+cos(+45)-cos(+15)=_.2.求值:=_.3.已知tan(+)=tan(-),其中 1,求证:【思路导引】1.注意角的变换,分析角之间的关系,令=+15;2.注意切化弦;3.注意变角,用已知角+,-表示2,2.323tan 123(4cos 122)sin 12sin 21.sin 21 【解题策略】角的三种变换(1)常见的配角变换.=2 ,=(+)-,=-(-),=(+)+(-),=(+)-(-),21212.424 （）(2)辅助角变换.asin x
2、+bcos x=sin(x+),其中tan=.(3)注意常值的代换.用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能用相关公式,如1=sin2+cos2,1=sin 90,=sin 30,=cos 30等.22abba1232【跟踪训练】1.(2020宜宾高一检测)已知 ,且3sin2-5cos2+sin 2=0,则sin 2+cos 2=()A.1 B.-C.-或1 D.-1(0,)2231723172.化简:=_(0 ).3cos()tan1cos221cos（）3.求证:2cos1 sin 2.14tan 2tan 2类型二 三角恒等变换与函数问题(直观想象、数学运算)角度1 与三角函数性质有
3、关的问题 【典例】已知函数f(x)=cos -2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x 时,f(x)-.3(2x)34 4 ，12【思路导引】角度2 与三角函数图象有关的问题 【典例】函数f(x)=4cos2 -2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为_.【思路导引】利用三角恒等变换公式化简函数解析式后再结合图象解答.x cos(x)22【变式探究】本例若把函数改为f(x)=sin xcos x-ln|x|,试求零点的个数.【解析】因为f(x)=sin xcos x-ln|x|=sin 2x-ln|x|,所以函数f(x)的零点 个数为函数y=sin 2x与y=
4、ln|x|图象的交点的个数,如图知,零点的个数为 2个.1212【解题策略】三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略 运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin x+bcos x+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(x+)+k(或y=Acos(x+)+k)的形式,将 x+看作一个整体研究函数的性质.研究图象问题时用数形结合的方法直观解题,由“数”想图,借“图”解题.【题组训练】1.(2018全国卷)函数f 的最小正周期为()A.B.C.D.2 【解析】选C.f(x)=sin xcos x=sin 2x,所以f(x)的最小正周期为T=.2tan x(x)1tan
5、x 422222sin xsin xcos xcos xsin xcos xsin x1cos x12222.已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x+2cos2x,xR.求函数f(x)的单调增区间.【解析】f(x)=-(1-2sin2x)+(2sin xcos x)+(2cos2x-1)+=sin 2x+cos 2x+=sin 由题意得2k-2x+2k+,kZ,即k-xk+,kZ.所以f(x)的单调增区间为 ,kZ.31232323212323(2x).6226236k,k36【拓展延伸】三角恒等变换在平面向量中的应用 1.向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积
6、运算或性质转化成三角函数问题.2.三角函数要结合三角恒等变换进行转化,注意角的范围对变形过程的影响.【拓展训练】已知向量a=(1,-),b=(sin x,cos x),f(x)=ab.(1)若f()=0,求 的值.(2)当x0,时,求函数f(x)的值域.322cossin122sin()4 【补偿训练】已知三点A,B,C的坐标分别为A(cos ,sin )B(3,0),C(0,3),若 =-1,求 的值.k(kZ)4，AB AC1sin 2cos 21tan类型三 三角恒等变换在几何中的应用(逻辑推理、数学建模)【典例】若点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作半圆的切线PT,且PT=1,PAB
7、=,问 为何值时,四边形ABTP的面积最大?【思路导引】先作图,再写出面积关于 的函数,利用三角函数性质求解.【解题策略】解决三角恒等变换在几何中的应用问题的注意事项(1)充分借助平面几何,寻找数量关系.(2)注意实际问题中变量的范围.(3)直视三角的有界性的影响.【跟踪训练】如图所示,要把半径为R的半圆形木料截成矩形,应怎样截取,才能使OAB的周长最大?【补偿训练】在本题条件下,求矩形面积的最大值.备选类型 三角变换在实际生活中的应用(数学运算、数学建模)【典例】某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD,已知草坪长AB=100 米,宽 BC=50 米,为了便于专家平时工作、起居,该高校计划在这
8、块草坪内铺设三 条小路HE,HF和EF,并要求H是CD的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且EHF为 直角,如图所示.3(1)设CHE=x(弧度),试将三条路的全长(即HEF的周长)L表示成x的函数,并求出此函数的定义域.(2)这三条路,每米铺设预算费用均为400 元,试问如何设计才能使铺路的总 费用最低?并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值:取1.732,取1.414).32【解题策略】此类问题,关键是合理引入辅助角,确定各变量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解.提醒:在利用三角变换解决实际问题时,常因忽视角的范围而致误.【跟踪训练】如图
9、,某工匠要将一块圆心角为120,半径为20 cm的扇形铁片裁成一块面积最大的矩形,现有两种裁法:(1)让矩形一边在扇形的半径OA上(如图),(2)让矩形一边与弦AB平行(如图),请问该工匠应采用哪种裁法?并求出这种裁法面积的最大值.1.化简 cos x+sin x等于()【解析】选B.课堂检测素养达标 26A.2 2cos(x)B.2 2cos(x)63C.2 2cos(x)D.2 2cos(x)63132cos x6sin x2 2(cos xsin x)222 2(coscos xsinsin x)332 2cos(x).32.(教材二次开发:练习改编)若f(x)=cos x-sin x在
10、0,a是减函数,则a的 最大值是()【解析】选C.f(x)=cos x-sin x=.当x0,a时,x+所以结合题意可知,a+,即a ,故所求a的最大值是 .3A.B.C.D.4242cos(x)4a444，434343.函数y=sin 2x+cos2x的最小正周期为_.【解析】因为y=sin 2x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin 所以函数的最小正周期T=.答案:32323212121(2x)62，224.北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,则cos 2=_.5.形如 的符号叫二阶行列式,现规定 =a11a22-a21a12,如果f()=0 ,求 的值.11122122aaaa|11122122aaaa|coscos22 2373sinsin132|，
