1、1.圆的标准方程12.2 圆的方程建系圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2 =r2设点列式化简证明CM(x,y)rxOy 问题:求圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程。求曲线方程的一般步骤是：回顾 方程明确给出了圆心坐标和半径；是关于x、y的二元二次方程；确定圆的方程必须具备三个独立条件即 a、b、r。记忆：圆的标准方程有哪些特点？圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2 =r2rrx2+y2=r2C(a,a)(x-a)2+(y-a)2=a2OxyC(a,b)(x-a)2+(y-b)2=a2+b2xyxOy例1：看图写出下列圆的
2、方程：练习:写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1)(x-1)2+y2=6 (2)(x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2(1,0)6(-1，2)3(-a，0)|a|xy0C（8,3）P（5,1）222(8)(3)xyr解：设圆的方程为代入圆的方程得在圆上点,)1,5(P132 r22(8)(3)13xy故所求圆的方程为：也可用两点间距离公式求r(5,1),8,3CPCC例2.已知圆 经过圆心,求圆 的方程.A(4,9)B(6,3)X0Y(,)ABa b解：设的中点为.6239,5264ba则102)93()46(22AB10)6()5(22yx故所求圆的方程为.)3,6(,
3、)6()5(2222rBryx代入得把点设圆的方程为4 96 3ABAB练习：已知，求以为直径的圆的方程.(1,1)(1,3),.CDx练习：求过点和圆心在 轴上的圆的方程222().xayr解：依题意设所求圆的方程为222222(1)1(1)3arar 解方程组,10,22 ra得.10)2(22yx故所求圆的方程为222:(1)(3)xyr解：设所求圆的方程为(1,3)3460Cxy圆心到直线的距离,343|63413|22rxC(1,3)3x-4y-6=0y09)3()1(:22yx故所求圆的方程为(1,3)3460Cxy例3.求以为圆心，并和直线相切的圆的方程.222)2()1(:ry
4、x设所求圆的方程为,1,y1 解：因圆与 轴相切 故圆的半径为xy0-1C(-1,2)y练习：求圆心在-1，2，且与 轴相切的圆 的方程；1 yx求圆心在直线上，且同时和两坐 标轴相切，半径为2的圆的方程；222:(1)(2)1xy所求圆的方程为 y练习：求圆心在-1，2，且与 轴相切的圆 的方程；1 yx求圆心在直线上，且同时和两坐 标轴相切，半径为2的圆的方程；2202C(2,2)C(-2,-2)XY-2-2y=x(2)解：依题意得所求圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4 (x+2)2+(y+2)2=4例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建
5、造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)xy例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)yx则圆的方程是 x 2+(y-b)2=r 2。解：建立坐标系如图所示，圆心在y轴上。设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r,因为P、B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是圆的方程的解。所以有 222222)4(0)0(10rbrb解之得：b=-10.5,r2=14.5 2把点P2的横坐标x=-2 代入圆的方程，得(-2)2+(y+10.5)2=14.5
6、 2因为P 2 的纵坐标 y 0，所以14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m。yx（续）所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.5 25.10)2(5.1422y 例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)(1)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为：x 2+y 2=r 2(2)由于圆的标准方程中含有 a,b,r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；小 结对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。
