1、23离散型随机变量的均值与方差23.1离散型随机变量的均值内容标准学科素养1.理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值2.掌握离散型随机变量的均值的性质、两点分布与二项分布的均值3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题.利用数据分析提升数学建模提高数学运算授课提示：对应学生用书第39页基础认识知识点一离散型随机变量的均值对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分，那么如何求离
2、散型随机变量的均值呢？已知某射手射击所得环数X的分布列为：X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射击之前，根据分布列估计n次射击的平均环数根据射手射击所得环数X的分布列，我们可以估计在n次射击中，预计n次射击的平均环数是多少？提示：P(X4)n0.02n次得4环，P(X5)n0.04n次得5环，P(X6)n0.06n次得6，环P(X7)n0.09n次得7环，P(X8)n0.28n次得8环，P(X9)n0.29n次得9环，P(X10)n0.22n次得10环故在n次射击中总环数大约为：40.02n50.04n60.06n70.09n80.28n90.29
3、n100.22n(40.0250.0460.0670.0980.2890.29100.22)n，从而预计n次射击的平均环数约为40.0250.04100.228.32. 知识梳理离散型随机变量的均值(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2x3p3xnpn为随机变量X的均值或数学期望(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平(3)性质：若X为离散型随机变量，则YaXb(其中a，b为常数)也是随机变量，且E(Y)E(aXb)aE(X)b.证明如下：如果YaXb，其中a，b为常数，X是随机变
4、量，那么Y也是随机变量因此P(Yaxib)P(Xxi)，i1,2,3，n，所以Y的分布列为：Yax1bax2baxibaxnbPp1p2pipn于是有E(Y)(ax1b)p1(ax2b)p2(axib)pi(axnb)pna(x1p1x2p2xipixnpn)b(p1p2pipn)aE(X)b，即E(aXb)aE(X)b.知识点二两点分布与二项分布的均值知识梳理1.若X服从两点分布，则E(X)p；2若X服从二项分布，即XB(n，p)，则E(X)np.自我检测1已知一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则每射击3次中靶次数X的均值为()A0.8B0.83C3 D2.4答案：D2已知随机变量X的分
5、布列如下：X0123Pa则E(X)_，E(2X1)_.答案：授课提示：对应学生用书第40页探究一求离散型随机变量的均值阅读教材P68习题2.3A组4题现要发行10 000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张，1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？解析： 1张彩票可能中奖金额X的取值为0,2,10,50,100,1 000P(X0)0.854 5，P(X2)0.1，P(X10)0.03，P(X50)0.01，P(X100)0.005，P(X1 000)0.000 5.中奖金额X的分布列为：X02105
6、01001 000P0.854 50.10.030.010.0050.000 51张彩票中奖金额的均值为00.854 520.1100.03500.011000.0051 0000.000 52.例1从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值解析由题意知X的可能取值为2,3,4,5.当X2时，表示前2次取的都是红球，P(X2)；当X3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球，P(X3)；当X4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，P(X4)；当X5时，表示前4次
7、中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，P(X5).X的分布列为：X2345PE(X)23454.方法技巧求离散型随机变量X的均值的步骤(1)根据X的实际意义，写出X的全部取值；(2)求出X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)利用定义求出均值跟踪探究1.袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值解析：X的所有可能取值为5,6,7,8.X5时，表示取出1个红球3个白球，此时P(X5)；X6时，表示取出2个红球2个白球，此时P(X6)；X7时，表示取出3个红球1个白球，此时P(X7)；X8时，表示取出4个红球，此时P(X8
8、).所以X的分布列为：X5678P所以E(X)5678.探究二离散型随机变量均值的性质阅读教材P68习题2.3A组1题已知随机变量X的分布列为X213P0.160.440.40求E(X)，E(2X5)解析：由题意得E(X)20.1610.4430.401.32，E(2X5)2E(X)57.64.例2已知随机变量X的分布列如下：X21012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y2X3，求E(Y)解析(1)由随机变量分布列的性质，得m1，解得m.(2)E(X)(2)(1)012.(3)法一：由公式E(aXb)aE(X)b，得E(Y)E(2X3)2E(X)323.法二：因为Y2X3，所以Y
9、的分布列如下：X75311P所以E(Y)(7)(5)(3)(1)1.方法技巧若给出的随机变量Y与X的关系为YaXb(其中a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aXb)aE(X)b求E(Y)跟踪探究2.已知随机变量X的分布列为：X123P由YaX3，若E(Y)2，求a的值解析：由X的分布列得E(X)1231.YaX3，E(Y)E(aX3)aE(X)3a32，a5，解得a3.探究三两点分布、二项分布的均值阅读教材P61例1、例2(1)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？(2)一次单元测验由20个选择题
10、构成，每个选择题有4个选项其中仅有一个选项正确每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值题型：两点分布、二项分布的均值方法步骤：(1)根据题意，确定随机变量X服从两点分布或二项分布(2)由两点分布及二项分布均值的计算公式得出随机变量的均值例3某运动员的投篮命中率为p0.6.(1)求投篮一次时命中次数X的均值；(2)求重复投篮5次时，命中次数Y的均值解析(1)投篮一次，命中次数X的分布列为X01P0.40.6，则E(X)p0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y
11、服从二项分布，即YB(5,0.6)则E(Y)np50.63.方法技巧1.若随机变量X服从两点分布，则E(X)p(p为成功概率)2若随机变量X服从二项分布，即XB(n，p)，则E(X)np，直接代入求解，从而避免了烦杂的计算过程跟踪探究3.春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(1)随机变量的分布列；(2)随机变量的均值解析：(1)这是4次独立重复试验，故B，即有P(k)Ck4k，k0,1,2,3,4.(2)E()4.探究四离散型随机变量均值的应用阅读教材P63例3根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率
12、为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元为保护设备，有以下3种方案方案1：运走设备，搬运费为3 800元方案2：建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水方案3：不采取措施试比较哪一种方案好题型：离散型随机变量的均值的应用方法步骤：(1)方案1无论有无洪水都损失3 800元，求出方案2和方案3的损失费用X的分布列(2)分别求出三种方案损失费用的均值，比较三个均值的大小，确定哪个方案好例4随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产
13、1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解析(1)X的所有可能取值有6,2,1，2.P(X6)0.63，P(X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列为：X6212P0.630.250.10.02(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34(万元)(3)设技术革新后的
14、三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29)，依题意，E(X)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%.方法技巧解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应概率跟踪探究4.某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“
15、支持”，则不予资助令表示该公司的资助总额(1)写出的分布列；(2)求E()解析：(1)的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.P(0)，P(5)，P(10)，P(15)，P(20)，P(25)，P(30).故的分布列为：051015202530P(2)E()05101520253015.授课提示：对应学生用书第42页课后小结(1)求离散型随机变量均值的步骤：确定离散型随机变量X的取值；写出分布列，并检查分布列的正确与否；根据公式求出均值(2)若X，Y是两个随机变量，且YaXb，则E(Y)aE(X)b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值素养培优在求离散型随机
16、变量的均值时因审题不清而致错某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰已知选手甲答题的正确率为.(1)求选手甲可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试写出X的分布列，并求X的均值易错分析：选手进入决赛有多种形式，要分清楚累计答对三题可分答了3题、4题或5题三种情况若不能审清题意，则可能致错考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的学科素养自我纠正：(1)选手甲答3题进入决赛的概率为3，选手甲答4题进入决赛的概率为C2，选手甲答5题进入决赛的概率为C22.所以选手甲可进入决赛的概率为.(2)依题意，X的可能取值为3,4,5，则有P(X3)33，P(X4)C2C2，P(X5)C22C22，因此，有X345PE(X)345.
