1、数列与不等式专 题 七 11 1.2()(12)31 nnnnnnnnnSnSaaSSnaaa数列概念定义:按一定次序排成的一列数叫做数列与 的关系是:递推公式:如果已知数列的首项 或前几项,且任一项与它的前一项或前几项 间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 *1*112.21()1()2224213 NNnnnnaAbAababAaand nnn aan nSnadSn等差数列定义:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做这个数列的公差等差中项:如果,成等差数列,那么 叫做 与 的等差中项,记为通项
2、公式:前 项和公式:或 1*11*112.()111()1234113 NNnnnnnnnaGbGabGabaa qnnqSnaaa qaqqSSnqq等比数列定义:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫等比数列,这个常数叫做这个数列的公比等比中项:如果,成等比数列,那么 叫做与 的等比中项,记为通项公式:前 项和公式:当时,;当时,或 *232232(2.1)4Nnmnpqnmnpqnnnnnnnnnnnnnnmnpq mnpqaaaaaaa aa aSanaSSSSSaSSSSS等差数列与等比数列的性质若,则当为等差数列时;当为等比数列时此性质
3、可称为“下标和相等性质”若为数列的前 项和,则在等差数列中,成等差数列;在等比数列中,成等比数列此性质可称为“项的片断和性质”3746160_.nnnaa aaaanS 已知等差数列中,则的前 项和例1.分析:将已知的两个等式转化为关于首项a1与公差d的方程组来解考点1 等差数列与等比数列的基本运算 11111126163508819812982nnnadadadadSnn nn nSnn nn nadaadd 设的公差为,则,解得或,因此解析:或1()()()adq首项 与公差或公比是支撑等差数列 或等比数列 的两大支柱,因此,将所求问题转化为这两个量的方程 组 是最基本的方法,也是常规法,
4、须【思维启迪】熟练掌握 163414_.nnanSaSSa设等比数列的前 项和为,若,则变式题:6316333411.111441.133naqqqqaaaSSqqqq设等比数列的公比为,由,得,整理得,故解析:223467853737380()A2 B1C 1 D 2naa a aa a aaaaaa 等比数列中,若,则 例2.222436872375a aaa aaa aa分析根据等比数列的性质知,于是可对已知等:式进行化简考点2 等差数列与等比数列的性质应用22224368737523467837373733737380380.A82.a aaa aaa aaa a aa a aa aa
5、aaa aaaaaaa 因为,所以由,得由和的立方公式,得,解析:,故选所以222243687375a aaa aaa aa【思本题要利用等比数列下标和的性质须观察分析得到,变形后还须注意类比和的立方公式,抓住了这两点,本题就维启迪】易解了2324322422222242422,141422 14142140630.BnnnnnnnnnnnnnnnnnnSSSSSSSSSSSSSSSSSS 据题设条件可知,成等比数列,即,成等比数列,则,由条件知 ,所以由解得,代入可解得,解故析:选 34214()A 80 B 30C 26 D 16nnnnnanSSSS各项均为正数的等比数列的前 项和为,若
6、,则等于 变式题:13524610599()A 21 B 20C 19 D 18nnnnaaaaaaaSanSn已知为等差数列,表示的前 项和,则使得达到最大值的 是 备选例题:1100nnnadaana 首先利用等差数列的通项公式将等式转化为关于首项 与公差 的等式,从而可得数列通项公式,然后利用分:确定析的值 13524611111114110599(2)(4)105()(3)(5)993924241 2.41 20394141 210222B.0 nnnaaaaaaaadadadadadadaannannann由,得,解得,所以由,得,解所以,故析:选1nadn求数列的前 项和的最值是等
7、差数列固有的一种独特题型,其解答时注意利用 与 确定所求是最大值还是最小值,然后再求最值及相应【思维启迪的】值 11()(2)nnnaad qnS重视基本概念及公式应用:主要涉及数列、等差和等比数列的概念、通项公式、前 项和公式,在这些公式中有,“知三求二”成为等差 比 数列中的基本问题另外,注意利用“设而不求,整体代入”来简化运算重视利用等差、等比数列的常用性质解题:要善于抓住等差与等比数列的下标变化,巧妙运用相关的性质 如下标和的性质,往往可使问题快速求解,达到化繁为简的目的34熟练掌握求数列通项的常用方法:观察猜想法、公式法、转化法等熟练掌握数列求和的常用方法:公式法、分组求和法、并项法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等 121224 A 8 1.(2 B 7C 6 D011)5nnkkSanadSSk 设为等差数列的前 项和,若,公差,则全国大纲卷2222222242245.kkkkSkkSkSSkk根据题意:,所以可化,解所以为析:2132.(2011)6,630.nnnnanSaaaaS设等全国大纲卷比数列的前 项和为,已知,求 和 1112111111323.632.630232321232 331.nnnnnnnnnaqaaqa qaaaa qqaSqSaq解析:当设的公比为由题设得,解,时,得或;当,时,