1、第1课时余弦定理课后训练巩固提升一、A组1.在ABC中,已知a=2,b=9,C=150,则c等于()A.7B.8CD.10解析:由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=12+81-229=147.故c=7答案:A2.在ABC中,a=7,b=4,c=,则ABC的最小角为()ABCD解析:abc,C为最小角,由余弦定理的推论,得cos C=又C(0,),C=答案:B3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2acos B=c,则ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析:由余弦定理的推论及2acos B=c,得2a=c,则a2-b2
2、=0,即a=b.故ABC为等腰三角形.答案:C4.在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A等于()ABC.-D.-解析:如图,过点A作ADBC,垂足为点D,由题意得BD=AD=BC,故CD=BC,AB=BC,AC=BC,由余弦定理的推论,得cosBAC=-答案:C5.在ABC中,若a=b=1,c=,则C=.解析:由余弦定理的推论,得cos C=-0CBC,3b=20acos A,则b等于()A.5B.6C.7D.8解析:由题意可设a=b+1,c=b-1.3b=20acos A,3b=20(b+1),整理得7b2-27b-40=0,解得b=5.答案:A3.在ABC中,角A,B,C的对
3、边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的大小为()ABCD解析:(a2+c2-b2)tan B=ac,tan B=,即cos Btan B=,sin B=,B(0,),B=或B=答案:D4.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3,c=4,则实数a的取值范围是()A.(1,7)B.(1,5)C.(,5)D.(,5)解析:b=3,c=4,且ABC是锐角三角形,cos A=0,且cos C=0,7a225,a5.答案:C5.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若cos A=,b+c=2a,则ABC的形状为.解析:由余弦定理的推论
4、及cos A=,得,即b2+c2-a2=bc.b+c=2a,a=,b2+c2-=bc,即(b-c)2=0,b=c,于是a=b=c.ABC为等边三角形.答案:等边三角形6.在ABC中,a+b=10,若cos C是方程2x2-3x-2=0的一个根,则ABC的周长的最小值为.解析:cos C是方程2x2-3x-2=0的一个根,解方程得x=-或x=2(不合题意,舍去).cos C=-0C180,C=120.又c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=100-ab=100-a(10-a)=(a-5)2+75,当a=5时,c取最小值5,ABC的周长的最小值为10+5答案:1
5、0+57.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc.(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a=2,试判断ABC的形状.解:(1)(a+b+c)(b+c-a)=3bc,a2=b2+c2-bc.a2=b2+c2-2bccos A,2cos A=1,cos A=A(0,),A=(2)在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,且a=,则()2=b2+c2-2bc=b2+c2-bc.b+c=2,与联立,解得bc=3, b=c=,于是a=b=c=,即ABC为等边三角形.8.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(sin B,1-cos B)与向量n=(2,0)的夹角的余弦值为(1)求角B的大小;(2)若b=,求a+c的取值范围.解:(1)m=(sin B,1-cos B),n=(2,0),mn=2sin B.又|m|=2,0B,00,|m|=2sin而|n|=2,cos =cos,B=(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos=a2+c2+ac=(a+c)2-ac(a+c)2-(a+c)2,当且仅当a=c时取等号,b=,(a+c)24,a+c2.又a+cb=,a+c2,即a+c的取值范围是(,2.
