1、辽宁省沈阳市实验中学2020届高三数学第一次阶试测试题 理（含解析）考试时间:120分钟试题满分:150分一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，集合，则等于 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后求解其交集即可.【详解】求解函数的值域可得，求解指数不等式可得，由交集的定义可得：，表示为区间形式即.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知复数满足，则( )A. B. C. 1D. 5【答案】C【解析】【分析】
2、由题意，根据复数的除法运算，求得，再由复数模的运算，即可求解.【详解】由题意，复数满足，则，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和复数的模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算法则和复数的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.在下面的四个图象中，其中一个图象是函数的导数的图象，则等于（ ）A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】先求导，根据二次函数性质确定导函数图像，再求解.【详解】因为导函数，所以导函数的图像是开口向上的抛物线，所以导函数图像是从左至右第三个，所以 ，又，即，所以，所以. 故选D.【点睛】本题主要考查函数求导及二次函数的性质.4
3、.高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ）A. 16种B. 18种C. 37种D. 48种【答案】C【解析】【分析】根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种，故选C【点睛】本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选
4、派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意5.设，则 （）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分析得到，再比较b,c的大小关系得解.【详解】由题得.,所以.故选D【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.“为假”是“为假”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】分析：根据充分、必要条件的定义进行判断即可详解：当“为假”时，则都为假，故“为假”；反之，当“为假”时，则中至少有一个为假，此时“为假”不一定成立所以“
5、为假”是“为假”的充分不必要条件故选A点睛：利用定义判断充分、必要条件时，可直接判断命题“若p，则q”、“若q，则p”的真假即可在判断时，首先要确定条件是什么、结论是什么7.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期大戴礼中“阶幻方”是由前个正整数组成的个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）则“5阶幻方”的幻和为（ ）A. 75B. 65C. 55D. 45【答案】B【解析】【分析】计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前
6、项和公式，属于基础题.8.函数在处有极值为7，则（ ）A. -3或3B. 3或-9C. 3D. -3【答案】C【解析】【分析】题意说明，由此可求得【详解】，解得或，时，当时，当时，是极小值点；时，不是极值点故选C【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数，是为极值的必要条件，但不是充分条件，因此由求出参数值后，一般要验证是否是极值点9.如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解.【详解】由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于0，与图象不符，排除D，故选C.【点睛】本题主要考
7、查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题.10.已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域是，且它们在 的图象如图所示，则不等式的解集为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ，由图象可得在区间（0，1）上，g（x）0，（1，3）上g（x）0又y=g（x）是奇函数，在区间（1，0）上，g（x）0，（3，1）上g（x）0又在区间（0，2）上，f（x）0，在区间（2，3）上，f（x）0，且y=f（x）是偶函数，在区间（3，2）上，f（x）0，在区间（2，0）上，f（x）0，由f（x）g（x）0可得， 或 即 或 不等式的解集为（2，1）（0，1）（2，3）故选C.点睛：由已知条件，结合奇函
8、数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以判断出函数y=f（x）与y=g（x）在区间3，3中的符号，进而得到不等式f（x）g（x）0的解集11.已知函数f（x）exe4x，如果x12x2，且x1+x24，则f（x1）+f（x2）的值（ ）A. 可正可负B. 恒大于0C. 可能为0D. 恒小于0【答案】D【解析】【分析】根据题意计算得到，再根据函数的单调性得到在上单调递增，计算得到答案.【详解】 故 易知：在上单调递增，故在上单调递增 故选：【点睛】本题考查了函数的中心对称，函数的单调性，意在考查学生对于函数性质的综合应用，难度较大.12.已知函数f（x）满足f（x）f（3x），当x1
9、，3），f（x）lnx，若在区间1，9）内，函数g（x）f（x）ax有三个不同零点，则实数a取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得到画出函数图像，计算直线与函数相切和过点时的斜率，根据图像得到答案.【详解】函数f（x）满足f（x）f（3x），当x1，3），f（x）lnx故， 画出函数图像，如图所示：当直线与相切时：，设切点为则 此时 当直线经过点时： 综上所述：故选：【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.（1+2x）8（1）4的展开式中x2y2的系数是_【答案】42【解析】【分析】直接利用二
10、项式定理展开得到答案.【详解】（1+2x）8（1）412x（2x）2（2x）8（1+y），故展开式中x2y2的系数是442故答案为：【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.14.直线x0、直线ye+1与曲线yex+1围成的图形的面积为_【答案】1【解析】【分析】如图所示：计算交点为计算积分得到面积.【详解】依题意，令e+1ex+1，得x1，所以直线x0，ye+1与曲线yex+1围成的区域的面积为S故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积，意在考查学生的计算能力.15.已知函数f（x），若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是_【答案】5，4【解析】【分析】函数yx+4的
11、值域为（，a+4），讨论a1和a1两种情况，分别计算yx22x的值域得到答案.【详解】函数yx+4在（，a）上为增函数，值域为（，a+4）若a1，yx22x（xa）的值域为1，+），要使函数f（x）的值域为R，则a+41，得a5，5a1；若a1，yx22x（xa）的值域为a22a，+），要使函数f（x）的值域为R，则a+4a22a，解得1a4，1a4综上，使函数f（x）的值域为R的实数a的取值范围是5，4故答案为：5，4【点睛】本题考查了分段函数的值域，分类讨论是解题的关键，需要熟练掌握.16.设是定义在上的偶函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析
12、：由题意得:即对任意的恒成立,令,解得,故填.考点：1.函数的奇偶性；2.二次函数的图象.三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔我校2018级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量（单位：百件）与销售价格（元/件）近似满足关系式，其中为常数已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件(1)求函数解析式；(2)若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确
13、定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润（单位：百元）最大【答案】（1）；（2）当销售价格为3元/件时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】【分析】（1）由题意将（3，10）代入函数解析式，建立方程，即可求出g（x）的解析式；（2）商场每日销售该商品所获得的利润每日的销售量销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值【详解】（1）由题意，102（3-5）2，解得a2，故g（x）2（x5）2（2x5）；（ 2）商场每日销售该商品所获得的利润为yh（x）（x2）g（x）2+
14、2（x5）2（x2）（2x5），y=4（x-5）(x-2)+ 2（x5）22(3x-9)（x5）列表得x，y，y的变化情况： x（2，3）3（3，5） y+0y 单调递增极大值10 单调递减由上表可得，x3是函数h（x）在区间（2，5）内的极大值点，也是最大值点，此时y10【点睛】本题函数解析式的求解比较简单，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题18.经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄2832384248525862收缩压（单位11411812
15、2127129135140147其中：，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群一位收缩压为的70岁的老人，属于哪类人群？【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)中度高血压人群.【解析】分析】（1）根据表中数据即可得散点图；（2）由题意求出，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）将x=70带入计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人
16、，属于哪类人群【详解】（1）（2），回归直线方程为（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为，收缩压为的70岁老人为中度高血压人群【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.已知函数f（x）exlnx+ax（aR）（1）当ae+1时，求函数f（x）单调区间；（2）当a1时，求证：f（x）0【答案】（1）当x（0，1）时，f（x）单调递减；当x（1，+）
17、时，f（x）单调递增（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，根据导数的正负得到函数的单调区间.（2）求导得到判断h（x）在（0，+）上单调递增，使函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增，代入计算得到证明.【详解】（1）f（x）exlnx+（e+1）x；令，得x1；当x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；（2）证明：当a1时，f（x）exlnxx（x0）；令，则；h（x）在（0，+）上单调递增；又，h（1）e20；，使得，即；函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增；函数f（x）的最小值
18、为；又函数是单调减函数；f（x0）1+1ln1110，即exlnxx0恒成立；又exxlnx；exlnx0；又a1，x0；axx；f（x）exlnx+axexlnxx0，得证【点睛】本题考查了函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生对于导数函数性质，方法的综合应用.20.东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价元，售价元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品天的销售量统计表，记两天中一共销
19、售该食品份数为，求的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进或份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得的取值为，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；（2）分别求解当购进份时的利润和购进份时的利润即可确定利润更高的决策.【详解】（1）根据题意可得，的分布列如下： （2）当购进份时，利润为 ，当购进份时，利润为 ，可见，当购进份时，利润更高.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数f（x）xlnx，（1）求
20、函数f（x）过（1，2）的切线的方程（2）过点P（1，t）存在两条直线与曲线yf（x）相切，求t的取值范围【答案】（1）yx1（2）（，0）【解析】【分析】（1）求导得到f（x）1+lnx，设切点为（m，n），利用切线方程公式计算得到答案.（2）导数为f（x）1+lnx，设切点为（u，v）化简得到t1lnuu在（0，+）有两解，求函数的最值得到答案.【详解】（1）函数f（x）xlnx的导数为f（x）1+lnx，设切点为（m，n），可得切线的斜率为1+lnm，切线方程为ymlnm（1+lnm）（xm），代入（1，2），可得2mlnm（1+lnm）（1m），化为m+lnm1，由yx+lnx在（0，
21、+）递增，且x1时，y1，可得m+lnm1的解为m1，则所求切线的方程为yx1；（2）函数f（x）xlnx的导数为f（x）1+lnx，设切点为（u，v），则切线的斜率为f（u）1+lnu，即有切线的方程为yulnu（1+lnu）（xu），代入点P（1，t），即有tulnu（1+lnu）（1u），即为t1lnuu在（0，+）有两解，由g（x）lnxx的导数为g（x）1，可得x1，g（x）递减，0x1，g（x）递增可得x1，取得最大值g（1）1，即有t11，解得t0故实数t的取值范围时（，0）【点睛】本题考查了函数的切线问题，将两条切线转化为方程有两解是解题的关键.请考生在22、23题中任选一题作
22、答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程；（2）已知，直线与曲线C交于P，Q两点，求最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用将极坐标方程化为普通方程；(2) 将直线的参数方程代入的普通方程,利用韦达定理求出，结合直线参数方程中参数的几何意义将化为，即可求出的最大值.【详解】（1），即.（2）将直线的参数方程（为参数）代入的普通方程，得，则，所以，所以，即的最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标与普通方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，考查了计算能力，属于中等题.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设函数，若存在使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)分类讨论的值，去掉绝对值，即可求解该不等式；(2)根据绝对值三角不等式求出的最大值，解出不等式的解集即可得出的取值范围.【详解】（1）当时，原不等式可化为，无解；当时，原不等式可化为，从而；当时，原不等式可化为，从而.综上，原不等式的解集为. （2）由得，又，所以，即，解得，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了不等式选讲的内容，解决含绝对值的不等式是一般采用零点分段法，去掉绝对值来求解，属于中档题.
