1、安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三数学下学期最后一模试题 文一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 设集合，则A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数，对应的点关于实轴对称，则A. 5B. C. D. 3. 已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角A. B. C. D. 4. 2021年开始，我省将试行“的普通高考新模式，即除语文数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是A. 甲的
2、物理成绩领先年级平均分最多B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理化学、历史D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的表面积是A. 12 B. C. D. 6. 设函数的定义域为R，满足当时，若对任意，都有，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为A. B. C. D. 8. 双曲线的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与y轴和双曲线右支分别交于A，B两点，若A点平分，则该双曲线的离心率是A. B. C. 2D. 9. 记为等差数列的前
3、n项和，若，则数列的通项公式A. nB. C. D. 10. 设，则a，b，c的大小顺序为A. B. C. D. 11. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列说法正确的是A. 是奇函数B. 的周期是C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称12. 在直四棱柱中，底面ABCD是边长为6的正方形，点E在线段AD上，且满足，过点E作直四棱柱外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为，则直四棱柱外接球的表面积为A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有
4、秦九韶的数书九章，李治的测圆海镜和益古演段，杨辉的详解九章算法和杨辉算法，朱世杰的算学启蒙和四元玉鉴现有数学著作数书九章，测圆海镜，益古演段，详解九章算法，杨辉算法，算学启蒙，四元玉鉴，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是_ 14. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则面积为_ 15. 设变量x，y满足约束条件，则的最大值为_16. 已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17. （12分）的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且求角B的大小；若，D
5、为BC边上一点，求的值18. （12分）某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量，单位：千克，其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1千克可获利50元；若供大于求，剩余的降价处理，每处理1千克亏损10元；若供不应求，可从其他商店挑拨，每销售1千克可获利30元假设商店每天该海鲜的进货量为14千克，商店的日利润为y元求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；估计日利润在区间内的概率19. （12分）如图，在直四棱柱中，上、下底面均为菱形，点G，H，M分别为AC，BC的中点求证：平面；若，求证
6、：平面20. （12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为求C的标准方程；设动直线l过且与C交于A、B两点，过作直线l的平行线，交C于R、N两点，记的面积为，的面积为，试问：是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由21. （12分）已知函数求曲线在点处的切线方程；证明：对任意，都有22. 选修4 - 4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；设直线l与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值23.
7、 选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数当时，求不等式的解集；若时，不等式成立，求实数a的取值范围答案解析1.B【解析】，或，故选：B2.A【解析】复数，对应的点关于实轴对称，故选：A3.D【解析】非零向量，满足，且，可得：，向量，的夹角，故选：D4.C【解析】甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物物理，C选项错，故选：C5.C【解析】解：由题意，几何体为底面边长为2的四棱锥，高为2，所以几何体的表面积为：；故选：C6.B【解析】解：因为，时，时，时，故存在，由，解得或，若对任意，都有，则故选：B7.B【解析】解：函数的定义域为，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，当时，排
8、除A，当，排除D，故选：B8.A【解析】解：，在y轴上，且A是的中点，即，整理得：，解得或舍故选：A9.B【解析】解：差数列中，所以，解得，则数列的通项公式故选：B10.A【解析】解：，所以，因为，所以，综上故选：A11.D【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，故是偶函数，最小正周期为，故A、B错误；令，求得，不是最值，故C错误；令，求得，故的图象关于点对称，故D正确，故选：D12.B【解析】解：四棱柱是直四棱柱，且底面是正方形，其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O，过O向底面ABCD作垂线，垂足为G，则，连接BD，底面ABCD是边长为6的正方形，为BD的中点，取AD的中
9、点F，连接OF，OE，OB，设，则，外接球的半径点E在线段AD上，且满足，则，又，直四棱柱中，侧面，侧面，又底面ABCD，又，平面OFG，则则根据球的特征，过点E作直四棱柱的外接球的截面，当截面过球心时，截面面积最大，此时截面面积为，当OE垂直于截面时，此时截面圆的半径为此时截面面积为又截面面积的最大值与最小值之差为，因此，即，则，直四棱柱外接球的表面积为故选：B13.【解析】解：共七本，从中任取2本，共有种，一本也不含杨辉的著作的共有种，所以从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是故答案为：14.【解析】解：由结合正弦定理得，即，因为，由余弦定理可得，解得，又，则的面积故答案为：15.4
10、【解析】解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：变形，得平移此直线，由图象可知当直线经过A时，直线在y轴的截距最大，得到z最大，由，解得所以的最大值为故答案为：416.【解析】解：把点代入可知，点不在曲线上设切点为，则所求切线的斜率又，所求的切线方程为，即故答案为：17.解：因为，由正弦定理得，故，所以，因为，所以，即，因为，所以；因为，所以，中，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，故18.解：根据题意可得：商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为，化简得：；由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海
11、鲜需求量在区间的频率是；这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数为：元；由于时，显然在区间上单调递增，得；，得；求日利润y在区间内的概率等价于求海鲜需求量x在区间的频率，即：日利润y在区间内的概率为19.证明：取中点M，AD中点N，连结NM、GN，在直四棱柱中，上、下底面均为菱形，点G，H，M分别为AC，BC的中点，平面平面，平面GNMH，平面在直四棱柱中，上、下底面均为菱形，是等边三角形，是BC中点，在直四棱柱中，平面，平面，AM、平面，平面20.解：设椭圆C的半焦距为c，由题意，可知面积的最大值为bc，所以，解得，所以椭圆的方程为当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，联立，得，所以恒成立，所
12、以，由，可知，所以，令，则，所以，当且仅当时取等号，即，时，取得最大值，最大值为6，当直线l的斜率不存在时，不妨设，则，综上，当时，取得最大值，最大值为621.解：根据题意可得，根据函数导数的几何意义即得，曲线在点处的切线方程即为 ，函数在点处的切线方程即为：证明：由得，“，即得在R上单调递增，又因为，所以当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减；综上可得，函数在上单调递减；在上单调递增即得，所以对任意的，都有22.解：直线l的参数方程为为参数，转换为普通方程为曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为把直线l的参数方程为为参数，代入，得到：，所以，故，点到直线l的距离，所以，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最大值为23.解：当时，不等式，即，所以或或，解得或或，所以原不等式的解集为或；若时，不等式成立，所以，所以，所以或，即或在时恒成立，由，可得，所以a的取值范围是，
