1、幂函数幂函数(1)一般地形如yx(为常数)的函数叫做幂函数幂函数与指数函数的区别与联系函数表达式相同点不同点指数函数yax(a0，且a1)右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数yx(R)底数是自变量，指数是常数(2)对于幂函数，我们只讨论1,2,3，1时的情形(3)图象：在同一坐标系中，幂函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象如图幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边(4)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域值域奇偶性单调性公共点yxRR奇在R上是增函数都过(1,1)点yx2R0，)偶在(，0)上是减函数
2、；在0，)上是增函数yx3RR奇在R上是增函数yx0，)0，)非奇非偶在0，)上是增函数yx1(，0)(0，)(，0)(0，)奇在(，0)和(0，)上均是减函数题型一 幂函数的概念【例1】（1）（全国高一课时练习）在函数，中，幂函数的个数为（ ）A0B1C2D3（2）（福建高一期末）若函数是幂函数，则（ ）A0B1C0或2D1或2【题型专练】1（陕西高一期末）已知函数为幂函数，则_.2（广东湛江）在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为 3.（广东潮州）已知y(m22m2)2n3是幂函数，求m，n的值 题型二 幂函数的三要素【例2】（1）（四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021
3、学年高一下学期开学考试数学试题）若幂函数的图象过点，则_（2）（上海高一课时练习）在函数；中定义域与值域相等的有_个.【题型专练】1（安徽高一期末）已知点在幂函数的图象上，则等于_.2.（专题4.3幂函数（A卷基础篇）设，则使函数yx的定义域为R的所有的值为（ ）A1,3B1,1C1,3D1,1,3题型三 幂函数的性质【例3】（1）（广西高一期末）幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是（ ）ABCD（2）（安徽高一开学考试）已知幂函数是偶函数，则_.（3）（安徽省安庆九一六学校高一开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）ABCD（4）（上海高一期末）幂函数，及直线将直角坐标
4、系第一象限分成八个“卦限： （如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）ABCD【题型专练】1（辽宁实验中学高三其他模拟）幂函数在为增函数，则的值是（ ）ABC或D或2（重庆巴蜀中学高一期末）已知幂函数在其定义域内不单调，则实数m=（ ）AB1CD3（四川高一期末）若幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数，则=（ ）A0B1C2D34（上海高一期末）在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ）ABCD5（全国高一课时练习）（多选）已知幂函数，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）A当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数B当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函
5、数C当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D当时，幂函数在上是减函数6（海南省）（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）ABCD7（广东高一期末）已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是_题型四 幂函数的综合运用【例4】（湖南高一月考）已知幂函数在区间上单调递增.（1）求的解析式；（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.【题型专练】1（福建仙游一中高一开学考试）若幂函数在其定义域上是增函数.（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围. 2（平罗中学高一期末）已知幂函数在上是增函数（1）求的解析式（2）若，求的取值范围. 3（湖南高一月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增（
6、1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值 3.3 幂函数幂函数(1)一般地形如yx(为常数)的函数叫做幂函数知识点拨幂函数与指数函数的区别与联系函数表达式相同点不同点指数函数yax(a0，且a1)右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数yx(R)底数是自变量，指数是常数(2)对于幂函数，我们只讨论1,2,3，1时的情形(3)图象：在同一坐标系中，幂函数yx，yx2，yx3，yx，yx1的图象如图幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边(4)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域
7、值域奇偶性单调性公共点yxRR奇在R上是增函数都过(1,1)点yx2R0，)偶在(，0)上是减函数；在0，)上是增函数yx3RR奇在R上是增函数yx0，)0，)非奇非偶在0，)上是增函数yx1(，0)(0，)(，0)(0，)奇在(，0)和(0，)上均是减函数题型一 幂函数的概念【例1】（1）（全国高一课时练习）在函数，中，幂函数的个数为（ ）A0B1C2D3（2）（福建高一期末）若函数是幂函数，则（ ）A0B1C0或2D1或2【答案】（1）B（2）C【解析】（1）因为，所以是幂函数；由于出现系数2，因此不是幂函数；是两项和的形式，不是幂函数；（），可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个
8、点，所以常数函数不是幂函数.故选：B.（2）若函数是幂函数，则，解得：或，当时，符合题意，当时符合题意，所以或，故选：C【题型专练】1（陕西高一期末）已知函数为幂函数，则_.【答案】【解析】由于函数为幂函数，则，即，解得或，所以，因此，.故答案为：.2（广东湛江）在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为 【答案】1【解析】yx2，是幂函数；y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；yx2x是两项和的形式，不是幂函数；y1x0(x0)，可以看出，常函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y1不是幂函数3.（广东潮州）已知y(m22m2)2n3是幂函数，求m，n
9、的值【答案】见解析【解析】由题意得解得或所以m3或1，n.题型二 幂函数的三要素【例2】（1）（四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题）若幂函数的图象过点，则_（2）（上海高一课时练习）在函数；中定义域与值域相等的有_个.【答案】（1）（2）3【解析】（1）设，则，所以，所以故答案为：（2）的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.的定义域为，值域为.故定义域与值域相等的有, 和故答案为：3【题型专练】1（安徽高一期末）已知点在幂函数的图象上，则等于_.【答案】【解析】由题意，可设，又在上，即，故答案为
10、：.2.（专题4.3幂函数（A卷基础篇）设，则使函数yx的定义域为R的所有的值为（ ）A1,3B1,1C1,3D1,1,3【答案】A【解析】当时，函数y的定义域为，不是R，所以不成立；当时，函数y的定义域为，不是R，所以不成立；当或时，满足函数yx的定义域为R，故选：A.题型三 幂函数的性质【例3】（1）（广西高一期末）幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是（ ）ABCD（2）（安徽高一开学考试）已知幂函数是偶函数，则_.（3）（安徽省安庆九一六学校高一开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）ABCD（4）（上海高一期末）幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限：
11、（如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）ABCD【答案】（1）C（2）4（3）C（4）B【解析】（1）因为幂函数过点，所以，解得，所以，那么可知函数的增区间为故选：C（2）因为函数为幂函数，所以，解得或.当时，函数为奇函数，不合题意；当时，函数为偶函数，所以.故答案为：.（3）因为幂函数的图像过点，所以，所以，所以，由于函数在上单调递增，所以，解得：故的取值范围是.故选：C.（4）对于幂函数，因为 ，所以在第一象限单调递减，根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴 ，因为，所以的图象比的图象更接近轴 ，所以进过第卦限，在直线的右侧，幂函数的指数越小
12、越接近轴，因为，所以的图象位于和之间，所以经过卦限，所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，故选：B 【题型专练】1（辽宁实验中学高三其他模拟）幂函数在为增函数，则的值是（ ）ABC或D或【答案】B【解析】为幂函数，解得：或；当时，则在上为减函数，不合题意；当时，则在上为增函数，符合题意；综上所述：.故选：B.2（重庆巴蜀中学高一期末）已知幂函数在其定义域内不单调，则实数m=（ ）AB1CD【答案】A【解析】由幂函数定义，解得：或，又在定义域内不单调，所以，故选：A3（四川高一期末）若幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数，则=（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】因为是幂函数，所以；
13、又在上是增函数， 所以，解得，因为，所以或或，当时，因为，所以是奇函数，不满足题意，舍去；当时，因为，所以是偶函数，满足题意；当时，是奇函数，不满足题意，舍去；故，所以.故选：C.4（上海高一期末）在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ）ABCD【答案】A【解析】对于A，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，符合题意；对于B， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，不符合题意；对于C，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越
14、来越慢快，不符合题意；故选：A5（全国高一课时练习）（多选）已知幂函数，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）A当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数B当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数C当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数D当时，幂函数在上是减函数【答案】AB【解析】，当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，幂函数在时无意义；故C中的结论错误；当时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误故选AB6（海南省）（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）ABCD【答案】AB【解析】
15、对于选项A：是奇函数且是增函数，故选项A正确；对于选项B：是奇函数且是增函数，故选项B正确；对于选项C：是奇函数，在和单调递增，但在定义域内不是增函数，故选项C不正确；对于选项D：是偶函数，不符合题意，故选项D不正确；故选：AB7（广东高一期末）已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】幂函数过点，幂函数，显然是奇函数，且在上单调递增若，则不等式即，故答案为： 题型四 幂函数的综合运用【例4】（湖南高一月考）已知幂函数在区间上单调递增.（1）求的解析式；（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）解：由题可知：，解得或.若，则在区间上单
16、调递增，符合条件；若，则在区间上单调递减，不符合条件.故.（2）证明：由（1）可知，.任取，且，则.因为，所以，所以，即，故在区间上单调递减.【题型专练】1（福建仙游一中高一开学考试）若幂函数在其定义域上是增函数.（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或，又是增函数，即，则；（2）因为为增函数，所以由可得，解得或的取值范围是或.2（平罗中学高一期末）已知幂函数在上是增函数（1）求的解析式（2）若，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或因为在上是增函数，所以，解得，则，故（2）因为为上的增函数，因为所以，解得：，故的取值范围是3（湖南高一月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值【答案】（1）；（2）；（3）2【解析】（1），（）即或在上单调递增，为偶函数即（2），（3）由题可知，当且仅当，即，时等号成立所以的最小值是2
