1、第二节等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别试一试1在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前1
2、1项和S11()A58B88C143 D176解析：选Ba4a816，a68，S1111a688.2(2013重庆高考)已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_.解析：因为an为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a14d)(a1d)2，解得d2a12，所以S864.答案：641等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列
3、2巧用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d，(n，mN)(2)若an为等差数列，且klmn，(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列. 3活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解练一练1(2013安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3，a72，则a9()A6B4 C2 D2解析：选A根据等差数列的定义和性质可得，S84(a3a6)，又S84a3，所以
4、a60，又a72，所以a84，a96.2(2014河北省质量监测)已知等差数列an的前n项和为Sn，a415，S555，则数列an的公差是()A. B4C4 D3解析：选Ban是等差数列，a415，S555，a1a522，2a322，a311，公差da4a34.考点一等差数列的基本运算1.(2013全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4 C5 D6解析：选C根据已知条件，得到am和am1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解由Sm12，Sm0，Sm13，得amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以等差数列的公差为da
5、m1am321， 由得解得2已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1，S2a3，则a2_；Sn_.解析：设等差数列的公差为d，则2a1da12d，把a1代入得d，所以a2a1d1，Snna1dn(n1)答案：13已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值解：(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，由于a11，a33，又a3a12d，所以d2，因此an32n.(2)由an32n，得Snn2nn2，所以Sk2kk235，即k22k350，解得k7或k5，又因为kN，所以k7.类题通法1等差数列的通项公式及前n项和公式
6、共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想2数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法考点二等差数列的判断与证明典例已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn1(n2且nN)(1)求证：数列是等差数列(2)求Sn和an.解(1)证明：当n2时，anSnSn12SnSn1，Sn(12Sn1)Sn1.由上式知若Sn10，则Sn0.S1a10，由递推关系知Sn0(nN)，由式得2(n2)是等差数列，其中首项为2，公差为2.(2)2(n1)2(n1)，Sn.当n
7、2时，anSnSn1，当n1时，a1S1不适合上式，an若将条件改为“a12，Sn(n2)”，如何求解.解：(1)Sn，2.2.是以为首项，以2为公差的等差数列(2)由(1)知(n1)22n，即Sn.当n2时，anSnSn1；当n1时，a12不适合an，故an类题通法1判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断2用定义证明等差数列时，常采用两个式子an1and和anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1时，a0无定义针对训练已知Sn为等差数列an的前n项和，bn(nN)求证：数列bn是等差数列证明：设等差数
8、列an的公差为d，Snna1n(n1)d，bna1(n1)d，bn1bna1nda1(n1)d(常数)，数列bn是等差数列考点三等差数列的性质及最值典例(1)(2014武昌联考)已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是()A18 B19C20 D21(2)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.解析(1)a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此当Sn取得最大值时，n20.(2)设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新
9、数列仍为等差数列且c17，c321，则c52c3c1221735.答案(1)C(2)35类题通法1等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.2求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：a10，d0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a10时，满足的项
10、数m使得Sn取得最小值为Sm.针对训练1(2013安徽望江模拟)设数列an是公差d0的最小正整数n的值是()A8 B9C10 D11解析：选Ca11a83d3，d1，S11S8a11a10a93a127d3，a18，an8(n1)0，解得n9，因此使an0的最小正整数n的值是10.3已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a7a54，a1121，Sk9，则k_.解析：a7a52d4，则d2.a1a1110d21201，Skk2k29.又kN，故k3.答案：34(2014荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是_解析：设数列an为该等差
11、数列，依题意得a1an70.Sn210，Sn，210，n6.答案：65(2013深圳二模)各项均为正数的数列an满足a4Sn2an1(nN)，其中Sn为an的前n项和(1)求a1，a2的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)当n1时，a4S12a11，即(a11)20，解得a11.当n2时，a4S22a214a12a2132a2，解得a23或a21(舍去)(2)a4Sn2an1，a4Sn12an11.得：aa4an12an12an2(an1an)，即(an1an)(an1an)2(an1an)数列an各项均为正数，an1an0，an1an2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列an2n1.
12、课下提升考能第组：全员必做题1(2013太原二模)设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1()A18 B20C22 D24解析：选B由S10S11，得a1a2a10a1a2a10a11，即a110，所以a12(111)0，解得a120.2(2013石家庄质检)已知等差数列an满足a23，SnSn351(n3)，Sn100，则n的值为()A8 B9C10 D11解析：选C由SnSn351得，an2an1an51，所以an117，又a23，Sn100，解得n10.3(2014深圳调研)等差数列an中，已知a50，a4a70并且S110，若SnSk对nN恒成立，则正整数k
13、构成的集合为()A5 B6C5,6 D7解析：选C在等差数列an中，由S100，S110得，S100a1a100a5a60，S110a1a112a60，故可知等差数列an是递减数列且a60，所以S5S6Sn，其中nN，所以k5或6.5(2014浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列an中，首项a11且前n项和Sn满足SnSn12(nN且n2)，则a81()A638 B639C640 D641解析：选C由已知SnSn12可得，2，是以1为首项，2为公差的等差数列，故2n1，Sn(2n1)2，a81S81S8016121592640.6已知递增的等差数列an满足a11，a3a4，则an_.解析：设
14、等差数列的公差为d，a3a4，12d(1d)24，解得d24，即d2.由于该数列为递增数列，故d2.an1(n1)22n1.答案：2n17已知等差数列an中，an0，若n2且an1an1a0，S2n138，则n等于_解析：2anan1an1，又an1an1a0，2ana0，即an(2an)0.an0，an2.S2n12(2n1)38，解得n10.答案：108(2013河南三市调研)设数列an的通项公式为an2n10(nN)，则|a1|a2|a15|_.解析：由an2n10(nN)知an是以8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n100得n5，当n5时，an0，当n5时，an0，|a1|a2|
15、a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.答案：1309已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4(nN)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明：当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，有2Sn1an5，又2Snan4，两式相减得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11.而a13，所以a22，这与数列an的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此数列an为首项为3，公差为1的等差数列(2)由(1
16、)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)1n2，即ann2.10(2013济南模拟)设同时满足条件：bn1(nN)；bnM(nN，M是与n无关的常数)的无穷数列bn叫“特界”数列(1)若数列an为等差数列，Sn是其前n项和：a34，S318，求Sn；(2)判断(1)中的数列Sn是否为“特界”数列，并说明理由解：(1)设等差数列an的公差为d，则a12d4，S3a1a2a33a13d18，解得a18，d2，Snna1dn29n.(2)Sn是“特界”数列，理由如下：由Sn110，得Sn1，故数列Sn适合条件.而Snn29n2(nN)，则当n4或5时，Sn有最大值20，即Sn20，故数列Sn适合条件.综上，数列Sn是“特界”数列第组：重点选做题1数列an满足a11，an1ranr(nN，rR且r0)，则“r1”是“数列an为等差数列”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当r1时，易知数列an为等差数列；由题意易知a22r，a32r2r，当数列an是等差数列时，a2a1a3a2，即2r12r2r，解得r或r1，故“r1”是“数列an为等差数列”的充分不必要条件2设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_解析：an，bn为等差数列，.， .答案：
