1、上海市浦东新区沪新中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一.填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.已知角的终边经过点，则_.【答案】【解析】【分析】求出点到坐标原点的距离，根据三角函数的定义，求出，即可求解.【详解】设坐标原点为，.故答案为：【点睛】本题考查三角函数定义的应用，属于基础题.2.函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式的限制条件，列出不等式，即可求解.【详解】函数有意义需，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查函数的定义域，注意对数函数性质的应用，属于基础题.3.
2、用弧度制表示所有与终边相同的角的集合是_.【答案】【解析】【分析】根据角度和弧度关系，以及终边相同角的关系，即可求解.【详解】与终边相同的角的集合是。故答案为：【点睛】本题考查角单位互化、终边相同角的集合表示，属于基础题.4.函数，的反函数为_.【答案】【解析】【分析】先求出函数的值域，然后由函数解析式将用表示，即可得出结论.【详解】函数，所以反函数为.故答案为：.【点睛】本题考查反函数的求法，要注意反函数的定义域不要遗漏，属于基础题.5.已知，试用表示_.【答案】【解析】【分析】根据已知，应用换底公式将所求的式子化为以为底的对数，再结合对数运算性质，即可求解.【详解】.故答案为：.【点睛】本
3、题考查对数的运算，掌握换底公式及对数运算性质是解题关键，属于基础题.6. 【答案】【解析】【分析】根据两角差的正切公式，可直接求出结果.【详解】.故答案【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，熟记公式即可，属于常考题型.7.方程的解集是_.【答案】【解析】【分析】对变形，再利用换元法转化成一元二次方程问题来求解即可【详解】，即：，令，则方程可化为，解得：或，或或方程的解集是：【点睛】本题考查了对数运算性质及转化思想，利用换元方法求解8.把化为的形式_.【答案】【解析】【分析】根据辅助角公式，即可求解.【详解】故答案为：.【点睛】本题考查两角和差正弦公式的应用，熟记公式即可，属于基础题.9.已知，
4、则实数的值的集合为_.【答案】【解析】【分析】根据，建立的方程，求解即可.【详解】，整理得，解得或所以的集合为.故答案为：.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系应用，考查计算求解能力，属于基础题.10.已知，化简：_.【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式，将被开方数化为完全平方数，结合的范围，即可求解.【详解】 .故答案为：.【点睛】本题考查应用二倍角公式化简，熟练掌握三角函数公式及变形是解题关键，属于中档题.11.已知的一个内角为，并且三边长满足关系：，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据三角形边角关系，可得所对的边为，由余弦定理建立的方程，求出，进而得到即可.【详解】，所对的边为，
5、整理得，解得或，舍去），.故答案为：.【点睛】本题考查求三角形面积、余项定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.12.在中，已知，给出下列结论：由已知条件这一三角形被唯一确定；一定是一个钝角三角形；若，则的面积是其中正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】由题可得,无法得到确定唯一的三角形；由“大边对大角”,利用余弦定理求得,即可判断三角形是否为钝角三角形；利用正弦定理的边角关系判断；由求得,进而求出三角形面积即可【详解】由,可得,即只知道三边的比例关系,无法确定唯一的三角形,故错误；则,即,即是钝角三角形,故正确；由正弦定理可得,故正确；因为,则,所以,故错误；故答案为：【点睛】本题
6、考查正弦定理的应用,考查三角形的形状的判定,考查三角形面积公式的应用二.选择题(本大题满分12分)本大题共有4题，每题都给出代号为A.B.C.D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13.若，则点必在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由范围，判断的正负，即可得出结论.【详解】，点在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查三角函数值的符号，属于基础题.14.化简所得的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式化简后，利用两角和的余弦函数化简求解即可.【详解】诱导公式：，；，；余弦
7、的两角和公式：，故选：C.【点睛】本小题主要考查运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数，属于基础题.15.中，若，则该三角形一定是（ ）A. 等腰三角形但不是直角三角形B. 直角三角形但不是等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定三角形的形状.【详解】由，得，或，即，或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D.【点睛】本题考查正弦定理、二倍角公式判断三角形的形状，属于基础题.16.若函数是定义在上的减函数，又是锐角三角形的两个内角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析
8、】依题意只需判断各选项中自变量的大小，由已知可得，根据正弦函数的单调性，得出的大小关系，即可求解.【详解】是锐角三角形的两个内角，在为增函数，又函数是定义在上的减函数，.故选：D.【点睛】本题考查抽象函数的函数值大小关系，利用函数的单调性，以及判断锐角三角形中角的三角函数大小是解题的关键，属于中档题.三.解答题(本大题满分52分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.已知弓形的弦长为，对应的圆心角为，求此弓形的面积.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理，求出扇形半径，进而求出扇形面积和面积，即可求解.【详解】设扇形的半径为，在中，由余弦定理得，弓形的面积为.【点睛】本题考查扇形
9、的面积、余弦定理解三角形，熟记公式是解题的关键，属于基础题.18.已知，求值：（1）； （2）2.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知可求出，将所求的式子化弦为切，即可求解；（2）引进分式，利用“1”的变化，将所求式子化为的齐次分式，化弦为切，即可求解.【详解】.（1）；（2）2 .【点睛】本题考查利用诱导公式、同角间的三角函数关系求值，构造的齐次分式，化弦为切是解题的关键，属于基础题.19.如图，为测量山高，选择水平地面上一点和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，求山高.【答案】【解析】分析】先在直角三角形中求出，然后用正弦定理求
10、出，最后再在直角三角形中求得【详解】解：在中，.在中，.由正弦定理得即，.在中，故山高是.【点睛】本题考查解三角形的应用：测量高度，考查正弦定理(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用20.已知，且，若，分别求与的值.【答案】【解析】【分析】由，求出，进而求出，利用，结合两角差的余弦，即可求出.【详解】，由解得或（舍去），又，【点睛】本题考查三角函数求值问题，灵活运用三角恒等变换和同角间的三角函数关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.21.在中，角的对边分别为，的外接圆半径，且满足.（1）求角和边的大小； （2）求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将已知等式化简，结合两角和的正弦公式，求出，进而求出角，再由正弦定理，求出；（2）要使面积最大，只需求出最大，由余弦定理结合基本不等式，即可求出结论.【详解】（1）由，得，的外接圆半径，由正弦定理可得， ；（2）根据余弦定理得，当且仅当时，等号成立，所以的面积的最大值为.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，利用基本不等式求三角形面积最值，考查计算求解能力，属于中档题.- 13 -
