1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 三十八直接证明与间接证明(30分钟70分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2017周口模拟)用反证法证明命题:若a+b+c为偶数,则“自然数a,b,c恰有一个偶数”时正确反设为()A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数C.自然数a,b,c中至少有两个偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】选D.由于“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”,故选D.2.(2017宜昌模
2、拟)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,cR,所以a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个等号不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2ab+bc+ca.此证法是()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.3.在ABC中,sinAsinCcosAcosC,则ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】选C.由sinAsi
3、nC0,即cos(A+C)0,所以A+C是锐角,从而B,故ABC必是钝角三角形.【加固训练】若a,bR,则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1+a2)0B.a2+b22(a-b-1)C.a2+3ab2b2D.【解析】选B.A中,当a=0时,lg(1+a2)=0,不成立;B中,因为a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)20,所以a2+b22(a-b-1)恒成立;C中,当a=0,b=1时,不成立;D中,当a=b=1时,不成立.4.(2017济南模拟)设小李从甲地到乙地往返的时速分别为a,b(ab),其全程的平均速度为v,则()A.avB.
4、vC.vbD.v=【解析】选A.设从甲地到乙地的路程为s,则v=,因为ab,所以,所以a=vbc,且a+b+c=0,求证0B.a-c0C.(a-b)(a-c)0D.(a-b)(a-c)0【解析】选C.ab2-ac3a2(a+c)2-ac3a2a2+2ac+c2-ac-3a20-2a2+ac+c20(a-c)(2a+c)0(a-c)(a-b)0.6.已知p3+q3=2,求证p+q2,用反证法证明时,可假设p+q2;已知a,bR,|a|+|b|2,所以不正确;对于,其假设正确.7.(2017太原模拟)命题“如果数列an的前n项和Sn=2n2-3n,那么数列an一定是等差数列”是否成立()A.不成立
5、B.成立C.不能断定D.与n取值有关【解析】选B.因为Sn=2n2-3n,所以当n=1时,a1=S1=-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,n=1时,适合an,且an-an-1=4,故an为等差数列,即命题成立.【加固训练】设a=-,b=-,c=-,则a,b,c的大小顺序是()A.abcB.bcaC.cabD.acb【解析】选A.因为a=-=,b=-=,c=-=,又因为+0,所以abc.二、填空题(每小题5分,共15分)8.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab0,则xa且xb”时,应假设为.【解析】“xa且xb”的否定是“x=a或x
6、=b”,因此应假设为x=a或x=b.答案:x=a或x=b【误区警示】此题容易出现“x=a且x=b”的错误答案.9.要证:a2+b2-1-a2b20,只要证明.【解析】a2+b2-1-a2b20(a2-1)(b2-1)0.答案:(a2-1)(b2-1)0【加固训练】设a=+2,b=2+,则a,b的大小关系为.【解析】a=+2,b=2+,两式的两边分别平方,可得a2=11+4,b2=11+4,显然,所以ab.答案:a1;a+b=2;a+b2;a2+b22;ab1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)【解析】若a=,b=,则a+b1,但a1,b2,故推不出;若a=-2,b=-
7、3,则ab1,故推不出;对于,即a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a1且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)11.设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列Sn不是等比数列.(2)数列Sn是等差数列吗?为什么?【解析】(1)假设数列Sn是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1a1(1+q+q2),因为a10,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,这与公比q0矛盾,所以数列Sn不是等比数列.(2)当q=1时,Sn=na1,故Sn是等差数列;当q1时,Sn不是等差数
8、列,否则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,这与公比q0矛盾.12.已知a,b(0,+),求证:(a3+b3(a2+b2.【证明】因为a,b(0,+),所以要证原不等式成立,只需证,即证(a3+b3)2(a2+b2)3,即证a6+2a3b3+b6a6+3a4b2+3a2b4+b6,只需证2a3b33a4b2+3a2b4.因为a,b(0,+),所以即证2ab2ab成立,以上步骤步步可逆,所以(a3+b30,y0且x+y=1,所以xy=,所以x2+y2+xy=(x+y)2-xy=1-xy1-=,故x2+y2+xy有最小值.2.(5分)(2017福州模拟)如
9、果a+ba+b,则a,b应满足的条件是.【解析】a+ba+b,即(-)2(+)0,需满足a0,b0且ab.答案:a0,b0且ab3.(5分)设a1,nN,若不等式-1恒成立时,则n的最小值为.【解析】n=1时,结论不成立;n=2时,不等式变为2-20,因为a1,所以不等式成立.答案:24.(12分)(2016全国卷)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围.(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x20,则当x(-,1)时,f(x)0,所以f(x)在(-,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b0且b
10、(b-2)+a(b-1)2=a0,故f(x)存在两个零点;设a0,因此f(x)在(1,+)内单调递增.又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.若a1,故当x(1,ln(-2a)时,f(x)0.因此f(x)在(1,ln(-2a)内单调递减,在(ln(-2a),+)内单调递增,又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点,综上,a的取值范围为(0,+).(2)不妨设x1x2,由(1)知,x1(-,1),x2(1,+),2-x2(-,1),f(x)在(-,1)内单调递减,所以x1+x2f(2-x2),即f(2-x2)1时,g(x)1时,g(x)0.从而g(x2)=f(2-x2)0,
11、故x1+x22.5.(13分)(2017焦作模拟)已知数列an是各项均为正数且公差为d的等差数列,其前n项和为Sn,首项为a1.(1)当a1=1,d=2时,证明:为等差数列.(2)求证:数列为等差数列的充要条件是d=2a1.【证明】(1)当a1=1,d=2时,=n,则-=n+1-n=1(常数),所以为等差数列.(2)充分性:若d=2a1,则=n,-=(n+1)-n=(常数),所以为等差数列.必要性:若为等差数列,则2=+,即2=+,两边平方,整理得4a1+d=2,两边再平方,整理得4-4a1d+d2=0,即(2a1-d)2=0,所以2a1-d=0,d=2a1.综上,数列为等差数列的充要条件是d=2a1.关闭Word文档返回原板块
