1、第一章 三角函数 1 数列 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值 学 习 目 标1.掌握 ysin x 和 ycos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值(重点、难点)2.掌握ysin x和ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小(重点)3.会求函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的单调区间(重点、易混点)核 心 素 养 1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质，提升学生的数学抽象素养.2.通过三角函数单调性等性质的学习，培养学生的运用数形结合研究问题的思想，提升学生的
2、数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 正弦、余弦函数的图象与性质解析式ysin xycos x 图象 值域_ 1,11,1单调性在 上递增，在上递减在上递增，在_ 上递减22k，2 2k，kZ22k，322k，kZ2k，2k，kZ2k，2k，kZ最值x 时，ymax1；x时，ymin1x时，ymax1；x_时，ymin1 对称轴xk2(kZ)xk(kZ)对称中心(k，0)kZ2k，0 kZ 22k，kZ22k，kZ2k，kZ2k，kZ思考：ysin x 和 ycos x 在区间(m，n)(其中 0mn2)上都是减函数，你能确定 m、n 的值吗？提示 由正弦函数和余弦函数的单调性可知 m2，
3、n.1y2sin3x3 的值域是()A2,2 B0,2C2,0D1,1A 这里 A2，故值域为2,22函数 ysin2x52 的一个对称中心是()A.8，0B.4，0C.3，0D.38，0B ysin2x52 cos 2x，令 2xk2(kZ)得 xk2 4(kZ)，令 k0 的对称中心为4，0，故选 B.3函数 y2sin x 取得最大值时 x 的取值集合为xx2k2，kZ 当 sin x1 时，ymax2(1)3，此时 x2k2，kZ.4函数 f(x)2cos2x4 的单调减区间为k8，k58(kZ)令 2k2x42k，kZ，得 k8xk58(kZ)，故单调减区间为k8，k58(kZ)合
4、作 探 究 释 疑 难 正弦函数、余弦函数的单调性【例1】(1)函数ycos x在区间，a上为增函数，则a的取值范围是(2)已知函数f(x)2 sin42x 1，求函数f(x)的单调递增区间思路点拨：(1)确定a的范围ycos x在区间，a上为增函数ycos x在区间，0上是增函数，在区间0，上是减函数a的范围(2)确定增区间令u42xy 2sin u1的单调递增区间(2)解 令u 4 2x，函数y2 sin u1的单调递增区间为22k，22k，kZ，由22k42x22k，kZ，得38 kx8k，kZ.所以函数f(x)2sin42x1的单调递增区间是38 k，8k，kZ.1本例(2)中条件不变
5、，问0，4 是该函数的单调递增区间吗？解 令2x4u，x0，4，42x434，即u4，34.而ysin u在4，34 上不单调，故y 2sin42x 1在0，4 上不是单调递增的2本例(2)中条件不变，求在，上的单调递增区间解 对于y 2sin42x 1，由2k22x42k2(kZ)得 k38 xk8(kZ)x，令k1时，x78，令k0时，38 x8，令k1时，58 x，函数y2 sin42x1在，上的单调递增区间为，78、38，8 和58，.3本例(2)中把条件中的“42x”改为“42x”，结果怎样？解 y 2sin42x 1 2sin2x4 1，令2k22x42k32(kZ)，得k38 x
6、k78(kZ)故函数y2 sin42x 1的单调递增区间为k38，k78(kZ)1求形如 yAsin(x)b 或形如 yAcos(x)b(其中A0，0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得2具体求解时注意两点：要把 x 看作一个整体，若 0，0 时，将“x”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当 A0 时，同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律跟进训练1 (1)函 数 y sin3x6，x3，3 的 单 调 递 减 区 间为(2)已知函数 ycos32x
7、，则它的单调递减区间为(1)3，29，9，3(2)k6，k23(kZ)(1)由 2 2k3x 6 32 2k(kZ)，得92k3 x49 2k3(kZ)又 x3，3，所 以 函 数 y sin3x6，x3，3 的 单 调 递 减 区 间 为3，29，9，3.(2)ycos32x cos2x3，由 2k2x32k，kZ，得 k6xk23，kZ，单调递减区间是k6，k23(kZ)利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小【例 2】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin 18 与 sin 10；(2)sin 196与 cos 156；(3)cos235 与 cos174 .思路点拨：用诱
8、导公式化简利用函数的单调性，由自变量的大小推出对应函数值的大小 解(1)2 10 182，sin 18 sin 10.(2)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66，0166690，sin 16sin 66，从而sin 16sin 66，即sin 196cos 156.(3)cos235 cos235 cos435 cos35，cos174 cos174 cos44 cos4.0435，且ycos x在0，上是减函数，cos35cos4，即cos235 cos174 .三角函数值大小比较的策略 1利用诱导公式，对于正弦函数来说，
9、一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到，0或0，内.2不同名的函数化为同名的函数.3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.跟进训练2(1)已知，为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()Asin sin Bcos sin Ccos cos Dcos cos(2)比较下列各组数的大小：cos158，cos149；cos 1，sin 1.(1)B，为锐角三角形的两个内角，2，2，0，2，20，2，所以 cos cos2 sin.(2)解 cos158 cos8，cos149 cos49，因为 0849，而 ycos x 在0，上单调
10、递减，所以 cos8cos49，即 cos158 cos149.因为 cos 1sin21，而 02112且 ysin x 在0，2 上单调递增，所以 sin21 sin 1，即 cos 1sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题 探究问题 1函数 ysinx4 在 x0，上的最小值是多少？提示：因为 x0，所以 x44，54，由正弦函数图象可知函数的最小值为 22.提示：不是因为 A0 时，最大值为 Ab，若 A0 时，最大值应为Ab.2函数 yAsin xb，xR 的最大值一定是 Ab 吗？【例 3】(1)函数 ycos2x2sin x2，xR 的值域为(2)已知函数 f(x)asin2x
11、3 b(a0)当 x0，2 时，f(x)的最大值为 3，最小值是2，求 a 和 b 的值思路点拨：(1)先用平方关系转化，即 cos2x1sin2x，再将 sin x看作整体，转化为二次函数的值域问题(2)先由 x0，2 求 2x3的取值范围，再求 sin2x3 的取值范围，最后求 f(x)min，f(x)max，列方程组求解(1)4,0 ycos2x2sin x2 sin2x2sin x1(sin x1)2.因为1sin x1，所以4y0，所以函数 ycos2x2sin x2，xR 的值域为4,0(2)解 0 x2，32x323，32 sin2x3 1，f(x)maxab 3，f(x)min
12、 32 ab2.由ab 3，32 ab2，得a2，b2 3.1求本例(1)中函数取得最小值时 x 的取值集合解 因为 ycos2x2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2，所以当 sin x1 时，ymin4，此时 x 的取值集合为xx2k2，kZ.2本例(2)中，函数变成 f(x)2cos2x3 3，求其最大值和最小值，并求取得最大值及最小值时的集合解(1)因为1cos2x3 1，所以当 cos2x3 1 时，ymax5；这时 2x32k(kZ)，即 xk6(kZ)当 cos2x3 1 时，ymin1.这时 2x32k(kZ)，即 xk3(kZ)综上，f(x)max5，这时
13、x 取值集合为 xxk6kZ；f(x)min1，这时 x 取值集合为xxk3kZ.3本例(2)中，函数变成 f(x)2cos2x3 3，且加上条件x6，12 时，求最大值、最小值 解 因为 x6，12，所以 02x32，所以 0cos2x3 1，所以当 cos2x3 1 时，ymax5；当 cos2x3 0，ymin3.所以函数 y2cos2x3 3，x6，12 的最大值为 5，最小值为 3.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)yasin2xbsin xc(a0)，利用换元思想设 tsin x，转化为二次函数 yat2btc 求最值，t 的范围需要根据定义域来确定(2)yAsin(x)
14、b，可先由定义域求得 x 的范围，然后求得 sin(x)的范围，最后得最值课 堂 小 结 提 素 养 1求函数 yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：把 x 看成一个整体，由 2k2x2k2(kZ)解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由 2k2x2k32(kZ)解出 x 的范围，所得区间即为减区间若 0，先利用诱导公式把 转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间2比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断3三角函数最值问题的求解方法有：(1)形如 yasin x(或 yacos x)型，可利用正弦函数、余弦函
15、数的有界性，注意对 a 正负的讨论(2)形如 yAsin(x)b(或 yAcos(x)b)型，可先由定义域求得 x 的范围，然后求得 sin(x)(或 cos(x)的范围，最后求得最值(3)形如 yasin2xbsin xc(a0)型，可利用换元思想，设 tsin x，转化为二次函数 yat2btc 求最值t 的范围需要根据定义域来确定1下列命题正确的是()A正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数B存在 xR 满足 sin x 2C在区间0,2上，函数 ycos x 仅当 x0 时取得最大值 1D正弦函数 ysin x 有无穷多条对称轴和无数个对称中心D A 错，ysin x，ycos x
16、在定义域没有单调增区间也没有减区间；B 错，sin x1；C 错，ycos x(x0,2)当 x0 或 2 时，函数取得最大值；D 对，根据正弦曲线可以知道正弦曲线有无数条对称轴，写成 xk2(kZ)，也有无穷多个对称中心(k，0)(kZ)2函数 ysin x4x56 的值域为12，1 因为4x56，所以12sin x1，即所求的值域为12，1.3sin27sin158(填“”或“”)sin158 sin28 sin8，因为 0827 2，ysin x 在0，2 上是增函数，所以 sin8sin27，即 sin27 sin158.4求函数 y1sin 2x 的单调递增区间解 求函数 y1sin 2x 的单调递增区间，转化为求函数 ysin 2x 的单调递减区间，由22k2x32 2k，kZ，得4kx34 k，kZ，即函数的单调递增区间是4k，34 k(kZ)点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
