1、2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和内容标准学科素养1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个3.能用an与Sn的关系求an.发展逻辑推理提升数学运算应用数学建模授课提示：对应学生用书第29页基础认识知识点一等差数列前n项和公式(1)高斯求和的故事我们一定耳熟能详，高斯是怎样求出123100的结果的呢？提示：高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差数列前100项的和高斯的算法妙在“等和性”12349899100与1009998321相等，对应项相加也相等(2)如图
2、，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多1根，最下面的一层有9根问题：一共有几层？图形的横截面是什么形状？提示：6层，梯形问题：假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样一共有多少根钢管？提示：6(49) 问题：原来有多少根钢管？提示：.问题：能否利用这种方法推导等差数列an的前n项和公式Sna1a2an?提示：Snanan1a2a1，2Snn(a1an)，故Sn.知识梳理(1)数列的前n项和的概念一般地，我们称a1a2a3an为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sna1a2a3an.(2)等差数列已知a1，n和an来表示Sn.思考如果已知等差数列
3、的首项a1及公差d，项数n，如何表示Sn?提示：将ana1(n1)d代入Sn，得Snna1d.知识点二数列中an与Sn的关系知识梳理a1a2an1Sn1.思考anSnSn1对任意nN*都成立吗？提示：不是，只对于n2，nN*成立自我检测已知等差数列an中，a11，a2a38，则数列an的前n项和Sn_.答案：n2授课提示：对应学生用书第30页探究一与等差数列前n项和有关的基本量的计算阅读教材P43例1与P44例2方法步骤：(1)从题设中确定a1和d.(2)选用Sn公式代入例1(1)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12B10C10 D12解析法一：设等差数列a
4、n的公差为d，3S3S2S4，3(3a1d)2a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24(3)10.故选B.法二：设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1dd，a12，d3，a5a14d24(3)10.故选B.答案B(2)在等差数列an中：已知a5a1058，a4a950，求S10；已知S742，Sn510，an345，求n.解析法一：由已知条件得解得S1010a1d1034210.法二：由已知条件得a1a1042，S10542210.S77a442，a46.Sn510.n20.方法技巧等差数列前n项和的运算技巧(1)列方程：此类运
5、算涉及的基本量有a1，d，n，an，Sn，一般转化为关于a1，d，n的方程组，解出方程组后再求其他的基本量(2)用性质：利用等差数列的性质简化运算，常用的性质如等差中项amanapaq.(3)当已知首项、末项和项数时，用Sn较为简便；当已知首项、公差和项数时，用Snna1d较简便跟踪探究1.在等差数列an中，(1)a1，an，Sn5，求n和d；(2)a14，S8172，求a8和d.解析：(1)由题意得，Sn5，解得n15.又a15(151)d，d.n15，d.(2)由已知得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.探究二数列的前n项和Sn与通项an之间的关系阅读教
6、材P44例3方法步骤：(1)由Sn构造Sn1.(2)利用anSnSn1.(3)验证n1.(4)写通项公式an.例2若数列an的前n项和为Snn2n，则数列an的通项an_.解析由Snn2n知，当n1时Sn1(n1)2(n1)，anSnSn1(n2n)n1.当n1时，a1，适合ann1，ann1.答案n1延伸探究1.本例中若Snn22n1，试求an.解析：由Snn22n1(n1)2得当n1时，Sn1n2，anSnSn1(n1)2n22n1.当n1时，a11214，不适合an2n1，故an.2若将本例中的条件改为“a11，an1SnSn1”，试求an.解析：an1SnSn1，且an1Sn1Sn，S
7、n1SnSnSn1，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.当n1时，Sn1，anSnSn1，an.方法技巧Sn与an的关系式的应用(1)“和”变“项”首先根据题目条件，得到新式(与条件相邻)，然后作差将“和”转化为“项”之间的关系，最后求通项公式(2)“项”变“和”首先将an转化为SnSn1，得到Sn与Sn1的关系式，然后求Sn.探究三等差数列前n项和的最值问题阅读教材P45例4方法步骤：(1)写出Sn的表达式(2)利用Sn关于n的二次函数求最值例3记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值解析
8、(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16.跟踪探究2.已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？解析：(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)法一：a19，d2，Sn9n(2)n210n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值法二：由(1)知a19，d20，an是递减数列令an0，则112n0，解得n.nN*，n5时，an0，
9、n6时，an0.当n5时，Sn取得最大值授课提示：对应学生用书第31页课后小结(1)求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到(2)等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)；若mn2p，则anam2ap.(3)由Sn与an的关系求an，主要使用an素养培优1整体思想等差数列an的前n项和Sn可视a1an为一整体进行等值的整体代换在等差数列an中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n项
10、之和是100，则项数n为()A9B10C11 D12解析：由题意及等差数列的性质可得4(a1an)206080，a1an20.前n项之和是100，解得n10，故选B.答案：B2分类讨论思想在数列求和时，常出现对n、an等量的讨论已知等差数列an中，记Sn是它的前n项和，若S216，S424，求数列|an|的前n项和Tn.解析：由S216，S424，得即解得所以等差数列an的通项公式为an112n(nN*)当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.当n6时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn2(52105)(n210n)n210n50，故Tn3函数思想当公差d0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Snn2n，类比二次函数求解Sn的问题在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解析：法一：S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n(2)n226n(n13)2169.当n13时，Sn有最大值169.法二：由于a1250，S9S17，d0.故Sn是关于n开口向下的抛物线，对称轴n13，当n13，Sn最大又S17S90，a13a140，2a125d0.d2，S1313a1d1325(2)169.
