1、第二章测评(二)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为()A.2x+y+3=0B.2x+y-3=0C.x-2y-4=0D.x-2y+6=0解析由题意直线过(2,-1),(0,3),故直线的斜率k=3+10-2=-2,故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.答案B2.(2020山东德州期末)已知直线l1:xcos2+3y+2=0,若l1l2,则直线l2倾斜角的取值范围是()A.3,2B.0,6C.3,2D.3,56解析因为
2、l1:xcos2+3y+2=0的斜率k1=-cos23-33,0,当cos=0,即k1=0时,直线l2的斜率k不存在,此时倾斜角为2;当k10时,可知直线l2的斜率k=-1k1,此时k3,此时倾斜角的取值范围为3,2.综上可得,l2倾斜角的取值范围为3,2.答案C3.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,实数m的值为()A.2B.0C.-1D.1解析直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1),所以当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,PQ垂直直线mx-y+1-2m=0,即m2-13-2=-1,所以m=-1,故选C.答案C4.已知圆C1的标准方程是(x-
3、4)2+(y-4)2=25,圆C2:x2+y2-4x+my+3=0关于直线x+3y+1=0对称,则圆C1与圆C2的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.内含解析根据题意,圆C2:x2+y2-4x+my+3=0,其圆心为C22,-m2,若圆C2关于直线x+3y+1=0对称,即点C2在直线x+3y+1=0上,则有2+3-m2+1=0,解得m=23,即圆C2的方程为(x-2)2+(y+3)2=4,其圆心为C2(2,-3),半径r=2.此时,圆心距|C1C2|=(4-2)2+(4+3)2=23+83,则有5-2|C1C2|8,最近距离为82-8.答案A6.若直线ax+by+2=0(a0,b0)截得
4、圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2b的最小值为()A.4B.6C.8D.10解析由题意圆心坐标为(-2,-1),半径r=1,所以圆心到直线的距离为d=|-2a-b+2|a2+b2,所以弦长2=21-|-2a-b+2|a2+b22,整理可得2a+b=2,a0,b0,所以1a+2b=1a+2b12(2a+b)=122+2+ba+4ab124+2ba4ab=4,当且仅当2a=b=1时,等号成立.所以1a+2b的最小值为4.答案A7.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为()A.2+1B.2+2C.
5、22+1D.22+2解析(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,由2x+y-2=0,x-y+2=0,解得x=0,y=2,所以直线l过定点Q(0,2).因为OPl,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心(0,1)到直线x-y+3=0的距离为d=22=2,所以点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1.答案A8.在平面直角坐标系中,设点A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得MAB为直角三角形的点M的个数是()A.1B.2C.3D.4解析根据题意,作出图形,如图.若MAB为直
6、角三角形,分3种情况讨论:MAB=90,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则直线AB的斜率kAB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则l1的斜率k1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=|0.42|2=0.2121,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;AMB=90,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=
7、4+4=22,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=2,此时|OC|=(0.02)2+(1.56)2,则有2-1|OC|0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2b解析两圆方程相减可得直线AB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2,得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相
8、减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.答案ABC11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.32+1D.8解析直线y=kx-1恒过定点A(0,-1),当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1的距离最大,所以最大值为(-3)2+(3+1)2+1=6.当直线与圆有交点时距离最小为0.所以点P到直线y=kx-1距离的取值范围为0,6.答案ABC12.在平面直角坐标系中,
9、曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|2解析设P(x,y),由题意可得yx+2+yx-2=2,化简得x2-xy=4(x2),当x=0时,0=4不成立,所以x0,所以由x2-xy=4化简得y=x-4x(x2且x0).函数y=x-4x是奇函数,所以曲线C不是轴对称图形,是中心对称图形,故A错误,C正确;x2+y2=x2+x-4x2=2x2+16x2-882-82,故B正确;横坐标x满足x2且x0,故D错误
10、.答案BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.解析根据题意,分2种情况讨论:直线经过原点,则直线l的方程为y=4x,即4x-y=0;直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入可得1-4=a,解得a=-3,即直线的方程为x-y+3=0.综上可得,直线的方程为4x-y=0或x-y+3=0.答案4x-y=0或x-y+3=014.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三点共线,当k0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为.解析由题意可得AB=(4-k
11、,-7),BC=(6,k-5),由于AB和BC共线,故有(4-k)(k-5)+42=0,解得k=11或k=-2.k0,k为直线的斜率,过点(2,-1)的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.答案2x+y-3=015.已知直线l:mx+(1-m)y-1=0(mR)与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,C,D分别为OA,AB的中点,则|AB|CD|的最小值为.解析直线l的方程可化为m(x-y)+y-1=0,由x-y=0,y-1=0,得x=y=1,即直线l恒过定点P(1,1).C,D分别为OA,AB的中点,|CD|=12|OB|=2.当OPAB时,|AB|最小,此时|AB|=2(22
12、)2-(2)2=26.|AB|CD|=2|AB|226=43.答案4316.已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为;若从点M(m,0),m(0,4)射出的光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是(结果用m表示).解析根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P1在反射光线所在的直线上.又A(4,0),B(0,4),则直线AB的方程为x+y=4,则有ba-1=1,a+12+b2=4,解得a=4,b=3,即P1(4,3),反射光线所在直线的斜率k=3
13、-04-(-2)=12,则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0.设点M1(a0,b0)与点M关于直线AB对称,点M2与M关于y轴对称,易得M2(-m,0),线段M1M2的长度就是光线所经过的路程,则有b0a0-m=1,m+a02+b02=4,解得a0=4,b0=4-m,即M1(4,4-m).则|M1M2|=(4+m)2+(4-m)2=2m2+32.答案x-2y+2=02m2+32四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求满足下列条件的直线的方程.(1)直线过点(-1,2),且与直线x+y-2=0平行;(2)直线过点(0,1)且与
14、直线3x+y+1=0垂直.解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,点(-1,2)在直线上,-1+2+m=0,m=-1.故所求直线的方程为x+y-1=0.(2)设所求直线的方程为x-3y+m=0.点(0,1)在直线x-3y+m=0上,0-3+m=0,解得m=3.故所求直线的方程为x-3y+3=0.18.(12分)(2021北京海淀模拟)已知直线l1:mx-2(m+1)y+2=0,l2:x-2y+3=0,l3:x-y+1=0是三条不同的直线,其中mR.(1)求证:直线l1恒过定点,并求出该点的坐标;(2)若以l2,l3的交点为圆心,23为半径的圆C与直线l1相交于A,B两点,求|AB|的最小值.
15、(1)证明l1:mx-2(m+1)y+2=0可化为m(x-2y)-(2y-2)=0,由x-2y=0,2y-2=0,得x=2,y=1,直线l1恒过定点D(2,1).(2)解l2:x-2y+3=0,l3:x-y+1=0联立可得交点坐标C(1,2),当|AB|最小时,CD直线l1.|CD|=(2-1)2+(1-2)2=2,|AB|的最小值为212-2=210.19.(12分)已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.(1)求直线AB的一般式方程;(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.解(1)直线l:y-1=a(x-3),直线
16、l恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).由圆的性质可知ABPC,直线PC的斜率kPC=1-03-1=12,直线AB的斜率kAB=-2,直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.(2)由题意知|PC|=(3-1)2+(1-0)2=5.PAAC,PBBC,四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,四边形PACB的外接圆为(x-2)2+y-122=54.20.(12分)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;(2)在(1)的条件下,若直线l过点(2,1),
17、且与圆C2的相交弦长为23,求直线l的方程.解(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),半径r1=1,由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,则C2(3,0),半径r2=9-m(m9).圆C1与圆C2外切,|C1C2|=r1+r2,3=1+9-m,解得m=5.(2)由(1)得m=5,圆C2的方程为(x-3)2+y2=4,则C2(3,0),r2=2.由题意可得圆心C2到直线l的距离d=1,当直线l斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;当直线l斜率为k时,则直线方程为y-1=k(x-2),化为一般形式为kx-y-2k+1=0,则圆心(3,0)到直线l的距离d=|
18、k+1|k2+1=1,解得k=0,得直线方程为y=1.综上,直线l的方程为x-2=0或y-1=0.21.(12分)(2020福建厦门模拟)已知圆C:x2+y2-8y=0与动直线l:y=kx-2k+2交于A,B两点,l恒过定点P,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.解(1)直线l:y=kx-2k+2过定点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0可化为x2+(y-4)2=16,圆心C(0,4).设动点M(x,y),M为AB中点,CMAB,CMMP=0.又CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y),CMMP=x(2-x)
19、+(y-4)(2-y)=0,化简得x2+y2-2x-6y+8=0,即(x-1)2+(y-3)2=2,点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)得M的轨迹为圆,圆心为D(1,3),半径为2,P(2,2),如图,点P(2,2),M均在圆上,|OP|=|OM|,由圆的性质可知ODPM.又直线OD的斜率kOD=3,直线l的斜率k=-1kOD=-13,直线l的方程为y-2=-13(x-2),即x+3y-8=0,O(0,0)到直线l的距离为d=|0+0-8|10=4105.又|PM|=2(22)2-41052=4105,SPOM=12|PM|d=1241054105=165,综上,l的
20、方程为x+3y-8=0,POM的面积为165.22.(12分)已知圆心为C的圆过点(3,3),且与直线y=2相切于点(0,2).(1)求圆C的方程;(2)已知点M(-3,4),且对于圆C上任一点P,线段MC上存在异于点M的一点N,使得|PM|=|PN|(为常数),试判断使OPN的面积等于4的点P有几个,并说明理由.解(1)依题意可设圆心C坐标为(0,t),则半径为|t-2|,圆C的方程可写成x2+(y-t)2=(t-2)2.圆C过点(3,3),(3)2+(3-t)2=(t-2)2,t=4,则圆C的方程为x2+(y-4)2=4.(2)由题知,直线MC的方程为y=4,设N(b,4)(b-3),P(
21、x,y),则|PM|2=2|PN|2,(x+3)2+(y-4)2=2(x-b)2+2(y-4)2,则(6+2b2)x-(2b2+42-13)=0,上式对任意x-2,2恒成立,6+2b2=0,且2b2+42-13=0,解得=32或=1(舍去,与M重合),b=-43,点N-43,4,则|ON|=4103,kON=-3,直线ON方程为3x+y=0,点C到直线ON的距离d=410=2105.若存在点P使OPN的面积等于4,则SOPN=124103d=4,d=3105.当点P在直线ON的上方时,点P到直线ON的距离的取值范围为0,2105+2,31052-2105,当点P在直线ON的下方时,使OPN的面积等于4的点有0个.综上可知,使OPN的面积等于4的点P有2个.
