1、第一章 三角函数 1 数列 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 第1课时 任意角的三角函数的定义 学 习 目 标核 心 素 养 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号(易错点)3.掌握公式一并会应用.1.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养学生数学抽象和数学建模素养.2.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升学生直观想象和数学运算素养.自 主 预 习 探 新 知 1任意角的三角函数的定义前提如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)正弦 _叫做的正弦，记作sin，即
2、sin _余弦 _叫做的余弦，记作cos，即cos _ 正切叫做的正切，记作tan，即tan 定义三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数yxyxyyxx2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域 sin _cos _ tan _R R xRxk2，kZ3.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号(1)图示：(2)口诀：“一全正，二，三，四”正弦正切余弦4诱导公式一思考：终边相同的角的同名三角函数值一定相等吗？提示：一定相等1若角的终边经过点P(2,3)，则有()Asin 2 1313 Bcos 132Csin
3、3 1313Dtan 23C 这里x2，y3，则r 2232 13，sin 3 1313，cos 2 1313，tan 32，故选C.2已知sin 0，cos 0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角D第四象限角B 由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角是第二象限角3sin253 _.32 sin253 sin83 sin3 32.4角终边与单位圆相交于点M32，12，则cos sin 的值为_312 cos x 32，sin y12，故cos sin 312.合 作 探 究 释 疑 难 三角函数的定义及应用 探究问题1一般地，设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离
4、为r，则sin，cos，tan 为何值？提示：sin yr，cos xr，tan yx.2sin，cos，tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示：sin，cos，tan 的值只与 的终边位置有关，不随 P点在终边上的位置的改变而改变【例 1】(1)已知角 的终边上有一点 P(x,3)(x0)，且 cos 1010 x，求 sin，tan 的值为_；(2)已知角 的终边落在直线 3xy0 上，求 sin，cos，tan 的值思路点拨：(1)依据余弦函数定义列方程求x 依据正弦、正切函数定义求sin 和tan 的值(2)判断角的终边位置分类讨论求sin，cos，tan (1)3 1
5、010，3 由三角函数定义知，cos xrxx29 1010 x.x0，x1，r 10.sin 3 1010，tan yx3.(2)解 直线 3xy0，即 y 3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(1，3)，则 r 12 322，所以 sin 32，cos 12，tan 3；在第四象限取直线上的点(1，3)，则 r 12 322，所以 sin 32，cos 12，tan 3.1将本例(1)中条件“x0”改为“x0”，结果如何？解 x0，由xx29 1010 x得x1.sin 3 1010，tan 3.2将本例(1)中条件“x0”改为“x0”，结果又怎样？解 因为r x29，cos x
6、r，所以 1010 xxx29，又x0，所以x1，所以r 10.当x1时，sin 3 1010，tan 3，当x1时，sin 3 1010，tan 3.3将本例(1)中“P(x,3)”改为“P(x,3x)”，且把“cos 10 x10”去掉，结果又怎样？解 x0，r x23x2 10|x|.当x0时，P在第一象限，为第一象限角，这时r 10 x，则sin 3 1010，cos 1010，tan 3.当x0时，P在第三象限，为第三象限角，这时r 10 x.则sin 3 1010，cos 1010，tan 3.4将本例(2)的条件“3 xy0”改为“y2x”，其他条件不变，结果又如何？解 当角的终
7、边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r|OP|1222 5，得sin 252 55，cos 15 55，tan 212.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(1，2)，由r|OQ|1222 5，得：sin 25 2 55，cos 15 55，tan 212.由角 终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：(1)已知角 的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值在 的终边上任选一点 P(x，y)，P 到原点的距离为 r(r0)则sin yr，cos xr.已知 的终边求 的三角函数时，用这几个
8、公式更方便(2)当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对参数(或)变量正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论三角函数值符号的运用【例 2】(1)已知点 P(tan，cos)在第四象限，则角 终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限(2)判断下列各式的符号：sin 145cos(210)；sin 3cos 4tan 5.思路点拨：(1)先判断 tan，cos 的符号，再判断角 终边在第几象限(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号(1)C 因为点P在第四象限，所以有tan 0，cos 0，由此可判断角终边在第三象限(2)解 145是
9、第二象限角 sin 1450.210360150，210是第二象限角，cos(210)0，sin 145cos(210)0.23，432，32 52，sin 30，cos 40，tan 50，sin 3cos 4tan 50.判断三角函数值在各象限符号的攻略：1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.跟进训练1已知角 的终边过点(3a9，a2)且 cos 0，sin 0，则实数 a 的取值范围是_2,3 因为 cos 0，sin 0，所以角
10、 的终边在第二象限或 y 轴非负半轴上，因为 终边过(3a9，a2)，所以3a90，a20，所以2a3.2设角 是第三象限角，且sin2 sin2，则角2是第_象限角四 角 是第三象限角，则角2是第二、四象限角，sin2 sin2，角2是第四象限角诱导公式一的应用【例 3】求值：(1)tan 405sin 450cos 750；(2)sin73 cos236 tan154 cos133.解(1)原式tan(36045)sin(36090)cos(236030)tan 45sin 90cos 30 11 32 32.(2)原式sin23 cos46 tan44 cos43 sin3cos6tan
11、4cos3 32 32 11254.利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成 2k 的形式，其中 0,2)，kZ.(2)转化：根据诱导公式，转化为求角 的某个三角函数值(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值跟进训练3化简下列各式：(1)a2sin(1 350)b2tan 4052abcos(1 080)；(2)sin116 cos125 tan 4.解(1)原式a2sin(436090)b2tan(36045)2abcos(3360)a2sin 90b2tan 452abcos 0 a2b22ab(ab)2.(2)sin116 cos125 tan 4 si
12、n26 cos125 tan 0sin6012.课 堂 小 结 提 素 养 1正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数2角 的三角函数值的符号只与角 所在象限有关，角 所在象限确定，则三角函数值的符号确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”3 终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等1有下列说法：终边相同的角的同名三角函数的值相等；sin 是“sin”与“”的乘积；若 sin 0，则 是第一、二象限的角；若 是第二象限的角，且 P(x，y)是其终边上一点，则 cos xx2y2.B 正确；错误；si
13、n 是整体；错误，如 sin 210；错误，cos xx2y2，故 B 选项正确其中正确的个数是()A0 B1 C2 D32若 sin cos 0，则 在()A第一或第四象限 B第一或第三象限C第一或第二象限D第二或第四象限B 因为 sin cos 0，所以 sin 0，cos 0 或 sin 0，cos 0，所以 在第三象限或第一象限3在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称，若 sin 15，则 sin _.15 设角 的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，则角 的终边与单位圆相交于点 Q(x，y)，由题意知 ysin 15，所以 sin y15.4求值：(1)sin 180cos 90tan 0；(2)cos253 tan154.解(1)sin 180cos 90tan 00000.(2)cos253 tan154 cos83 tan44 cos3tan412132.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
