1、喀什第六中学2021-2022学年度第一学期期中考试高二数学试卷2021年11月一、 单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线l与x轴所成角为30，直线l的斜率为（ ）A. B. C. D. 2 设x，yR，向量，且，则（ ）A. B. C. 3D. 3. 若方程表示一个圆，则k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 4. 如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）A. k1k2k3B. k3k1k2C. k3k2k1D. k1k3k25. 已知直线：过定点，直线过点且与直线垂直，则直线方程为
2、（ ）A. B. C. D. 6. 若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7. 已知空间向量，则下列结论错误的是（ ）A B. C. D. 与夹角的余弦值为8. 过点作圆的两条切线，A，B为切点，则下列结论正确的个数是（ ）的面积为过A，B两点的直线方程为四边形ACBP的外接圆方程为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 直线 的倾斜角为 （ ）A. B. C. D. 10. 已知垂直于正方形所在平面，分别是，线段上的点，且满足，则的坐标是（ ）A. B. C. D. 11. 直线4kx4yk0与拋物线y2x交于A、B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线
3、x0的距离等于（ ）A. B. C. D. 12. 如图，三棱锥中，设，若，则=（ ）A. B. C. D. 二、填空题，共20分.13. 已知两个向量，且，则的值为_.14. 设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为_15. 已知，为两个不重合的平面，设平面与向量(1，2，4)垂直，平面与向量(2，4，8)垂直，则平面与的位置关系是_16. 已知，则以，为邻边的平行四边形的面积为_.三、解答题，共70分.17. 已知直线l经过点（1）若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程：（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程18. 如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上
4、，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24，OA2，AOP120（1）求三棱锥A1APB的体积（2）求异面直线A1B与OP所成角的大小（结果用反三角函数值表示）19. 若实数x，y满足x2y22x4y10，求下列各式的最大值和最小值（1）；（2）3x4y；（3）x2y2.20. 已知，以为直径的圆记为圆（1）求圆的标准方程；（2）试判断圆：与圆的位置关系21. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）若1+2cosAcosB2sinAsinB，求角C；（2）若，求角C22. 已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且截直线所得的弦长为4.（1）求圆的方程；（2）设点在圆上运动，点
5、，M为线段AB上一点且满足，记点的轨迹为曲线.求曲线的方程，并说明曲线的形状；在直线上是否存在异于原点的定点，使得对于上任意一点，为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.喀什第六中学2021-2022学年度第一学期期中考试高二数学试卷2021年11月一、 单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线l与x轴所成角为30，直线l的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线的倾斜角可为，也可为，直接求斜率即可.【详解】若直线l与x轴所成角为30，则直线的倾斜角可为，也可为或故
6、选：C.2. 设x，yR，向量，且，则（ ）A. B. C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.【详解】解：向量，且，解得，选项B正确.故选：B3. 若方程表示一个圆，则k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆的一般方程，表示圆的条件是，列出不等式即可求解.【详解】因为，方程表示一个圆，所以 ，即，解得 故选：B4. 如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）A. k1k2k3B. k3k1k2C. k3k2k1D. k1k3k2【答案】
7、D【解析】【分析】根据直线的倾斜角大小判断k1，k2，k3的大小关系即可.【详解】直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，0k3k2，综上，k1k3k2，故选：D5. 已知直线：过定点，直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线的方程求出定点，也即的定点，再由两直线垂直求出斜率，方程可得.【详解】由题意，直线：， 过定点，则直线过定点，直线与直线垂直，则直线的斜率，直线的方程为，即.故选A.6. 若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用点到直线距离公式可构造不等式求得结果.【详解】由
8、题意得：，解得：，即的取值范围为.故选：B.7. 已知空间向量，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 与夹角的余弦值为【答案】B【解析】【分析】由空间向量的数量积运算逐一判断即可.【详解】，故A正确；，不存在，使得，故B错误；，则，故C正确；，故D正确；故选：B8. 过点作圆的两条切线，A，B为切点，则下列结论正确的个数是（ ）的面积为过A，B两点的直线方程为四边形ACBP的外接圆方程为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】连接，在中，用勾股定理进行计算；用等面积法求出，再根据切线长定理得到，求出；在中，用勾股定理求出，再利用面积公式进行计算即可；利用两个
9、圆的方程相减即可得到公共弦所在直线方程；使用圆周角定理的推论判断圆心在上，求出圆心及半径，即可得到四边形外接圆的方程.【详解】根据题意，作如下图形，连接因为为的切线，所以，又，故，又的标准方程为：，得，故，故正确；因为为的切线，故，故，故错误；由知，故，因此，故正确；过A,B两点的直线即为圆C与以PC为直径的圆的公共弦所在的直线，只需两个圆的方程相减即可，即可得直线AB的方程3x+4y-4=0,故正确；由于为的切线，故，故为四边形外接圆的圆心，由于，故圆心坐标为，半径为，故圆的标准方程为：，即，故正确.综上所述，正确的为：，共计4个.故答案为：D.9. 直线 的倾斜角为 （ ）A. B. C.
10、 D. 【答案】D【解析】【分析】由直线方程求直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角.【详解】 即 ，所以斜率为 ，设直线的倾斜角为，则又，所以 ，即 故选：D.10. 已知垂直于正方形所在的平面，分别是，线段上的点，且满足，则的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据，然后表示的坐标计算即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系由，所以，由故选：B11. 直线4kx4yk0与拋物线y2x交于A、B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分析可得直线恒过抛物线的焦点，根据抛物
11、线焦点弦的性质|AB|x1x2，可得弦AB的中点的横坐标是，即得解【详解】直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过拋物线y2x的焦点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，所以弦AB的中点到直线x0的距离是故选：D12. 如图，在三棱锥中，设，若，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接根据三棱锥的结构特征及空间向量加减法、数乘的几何意义，用表示，即可知正确选项.【详解】连接.故选：A二、填空题，共20分.13. 已知两个向量，且，则的值为_.【答案】【解析】【分析】依题意可得存在实数使得，即可得到方程组
12、，解得即可；【详解】解：因为，且，所以存在实数使得，即，即，解得，所以故答案为：14. 设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由条件可得直线过点、直线过点，然后可得点的轨迹方程为，设线段的中点为，连接，可得，点的轨迹方程为，然后，即可得到答案.【详解】由可得，所以直线过点由可得，所以直线过点因为，所以，所以点的轨迹是以两点、连线为直径的圆，其轨迹方程为设线段的中点为，连接，因为，圆所以所以点的轨迹方程为因为，的最小值为所以的最小值为故答案为：15. 已知，为两个不重合的平面，设平面与向量(1，2，4)垂直，平面与向量(2，4，8)垂直，则平面与的
13、位置关系是_【答案】平行【解析】【分析】根据题意判断，即可得到两平面的位置关系.【详解】，所以，又分别是平面的法向量，所以.故答案为：平行16. 已知，则以，为邻边的平行四边形的面积为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，易得以，为邻边的平行四边形为菱形，结合菱形面积公式，即可求解.【详解】由题意知，因此以，为邻边的平行四边形为菱形.因，所以，所以.故答案为：.三、解答题，共70分.17. 已知直线l经过点（1）若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程：（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程【答案】（1）或 （2）或【解析】【分析】（1）当斜率不存在时，l：，验证即可，当斜率存在
14、时，设l：，由原点到直线l的距离为2求解；（2）若直线过原点，设直线方程为，根据直线l经过点求解；若直线不过原点，设直线方程为，根据直线l经过点求解.【小问1详解】解：当斜率不存在时，l：，符合题意；当斜率存在时，设l：，即，解得：，l：或.【小问2详解】若直线过原点，设直线方程为，因为直线l经过点，所以，所以直线方程为,若直线不过原点，设直线方程为，因为直线l经过点，所以，所以直线方程为,直线l：或.18. 如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24，OA2，AOP120（1）求三棱锥A1APB的体积（2）求异面直线A1B与OP所成角的大小（结果用反三
15、角函数值表示）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据表面积得到，计算，再计算体积得到答案.（2）为的中点，连接，证明，在中，计算各条边长，再利用余弦定理计算夹角得到答案.【小问1详解】，故.，则，.【小问2详解】如图所示：为的中点，连接，为的中点，为中点，则，在中，.故异面直线A1B与OP所成角的大小为.19. 若实数x，y满足x2y22x4y10，求下列各式的最大值和最小值（1）；（2）3x4y；（3）x2y2.【答案】（1）最大值为0，最小值为；（2）最大值为1，最小值为21；（3）最大值为94，最小值为94.【解析】【分析】（1）（2）设直线方程k、3x4yk，法一：由该直线与
16、圆的位置关系知：圆心到直线的距离不大于圆的半径，列不等式求k的范围；法二：将直线方程代入圆的方程并整理，利用0求k的范围.（3）法一：由目标式的几何意义：已知圆上点到原点距离的平方，即可求最值；法二：设参数方程，代入圆的方程并整理关于的三角函数，利用正弦函数的性质求最值.【详解】（1）(方法1)令k，则kxy4k0.x，y满足x2y22x4y10，圆心(1，2)到直线kxy4k0的距离不大于圆的半径2，即，解得k0，的最大值为0，最小值为.(方法2)令k，则yk(x4)代入圆的方程，整理得(1k2)x2(24k8k2)x16k216k10，方程有实数根，(24k8k2)24(1k2)(16k2
17、16k1)0，化简整理得21k220k0，解得k0，的最大值为0，最小值为.（2）(方法1)设3x4yk，则3x4yk0，圆心(1，2)到该直线的距离不大于圆的半径，即，解得21k1，3x4y的最大值为1，最小值为21.(方法2)设k3x4y，即yx，代入圆的方程，整理得25x2(166k)xk216k160，方程有实数根，(166k)2425(k216k16)0，化简整理得k222k210，解得21k1，3x4y的最大值为1，最小值为21.（3）(方法1)原点与圆心之间的距离d，根据几何意义知：x2y2的最大值为94，最小值为94.(方法2)由（1）知，圆的方程中的x，y变为(R)，x2y2
18、98sin4cos94sin()，x2y2的最大值为94，最小值为94.20. 已知，以为直径的圆记为圆（1）求圆的标准方程；（2）试判断圆：与圆的位置关系【答案】（1） （2）相交【解析】【分析】（1）先求出圆的直径式方程，再配方可得其标准方程.（2）算出圆心距和两圆的半径之和与半径之差，从而可判断两圆的位置关系.【小问1详解】圆的直径式方程为：，整理得到：，故圆的标准方程为：.【小问2详解】圆的标准方程为：，设圆的半径为，圆的半径为，由（1）可得，而，故，而，故两圆相交21. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）若1+2cosAcosB2sinAsinB，求角C；（2）若
19、，求角C【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据两角和的余弦公式求出C的余弦值，求出C的值即可；（2）结合余弦定理求出C正切值，求出C的值即可【小问1详解】若1+2cosAcosB2sinAsinB，则cosAcosBsinAsinB，即故，即,所以，由 ，故【小问2详解】若，显然，所以，又由tanA0得到tanC1，故22. 已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且截直线所得的弦长为4.（1）求圆的方程；（2）设点在圆上运动，点，M为线段AB上一点且满足，记点的轨迹为曲线.求曲线的方程，并说明曲线的形状；在直线上是否存在异于原点定点，使得对于上任意一点，为定值，若存在，求出所有满足条
20、件的点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1） （2），曲线是为圆心，为半径的圆.不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）令且，结合题设得圆为，联立直线结合韦达定理及弦长公式列方程求参数m，进而写出圆的方程；（2）设，应用坐标表示，再根据列方程组分别用表示、用表示，最后由点在圆上代入化简即可确定的方程，并说明曲线的形状即可.设且，不妨假设为定值，根据两点距离公式、在上化简并整理可得，则多项式方程中系数及常数项均为0求参数，即可判断存在性.小问1详解】令且，易知圆的半径为，圆的方程为，联立，整理可得，若与圆交点横坐标分别为、，则，解得，又，即，圆的方程为.【小问2详解】设，则，而，则，又在圆上，曲线的方程为，故曲线是为圆心，为半径的圆.设且，要使为定值，即为定值即可，则，又，则，可得，又异于原点，不存在，使上任意一点有为定值.【点睛】关键点点睛：第二问，利用两个动点的数量关系，将一个未知曲线上的动点坐标表示已知圆上的动点坐标，根据点在圆上代入方程整理得曲线的方程即可；设动点，根据比值为定值列方程并整理为含所设参数的整式方程形式，要使比值不受动点的影响只需保证相关项的系数为0，列方程组求参数判断存在性.
