1、第1讲函数的旋转、两函数的对称问题一选择题（共9小题） 1（2021青岛开学）将函数的图象绕点逆时针旌转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为ABC1D【解答】解：由，得，原函数的图象是以为圆心，以为半径的圆的部分，如图：设过与圆相切的直线的斜率为，则直线方程为，即由，解得要使对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大角满足，可得最大时的正切值为故选：【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数的概念，考查化归与转化、数形结合思想，属难题2（2021春池州期末）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下
2、各项中（1）的取值只可能是AB1CD0【解答】解：由题意可得：问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合设处的点为，的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，旋转后的对应点也在的图象上，同理的对应点也在图象上，以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，当（1）时，即，此时，不满足函数定义；当（1）时，即，此时，不满足函数定义；当（1）时，即，此时，不满足函数定义；故选：【点评】本题考查函数值的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查函数定义等基础知识，考查数形结合思想，是中档题3（2017春新华区校级期末）将函数图象绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函
3、数的图象，则的最大值为ABCD【解答】解：由题意，函数图象如图所示，函数在，上为增函数，在，上为减函数设函数在处，切线斜率为，则（1），（1），可得切线的倾斜角为，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为，也就是说，最大旋转角为，即的最大值为即故选：【点评】本题考查了导数的几何意义和函数的图象与图象变化等知识点，将函数图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是一个函数的图象，求角的最大值，属于中档题4（2021春徐汇区校级期中）2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图，而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学
4、美学世界数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图，平面上有两定点，两动点，且，绕点逆时针旋转到所形成的角记为设函数，其中，随着的变化，就得到了的轨迹，其形似“蝴蝶”则以下4幅图中，点的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为ABCD【解答】解：本题比较抽象，考虑特殊情况先考虑与共线的蝴蝶身方向，令，要满足，故排除，；再考虑与垂直的方向，令，要满足，故排除，故选：【点评】本题考查的知识要点：信息题，实际问题的处理，赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题5（2021秋上高县校级月考）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”经研究发
5、现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心若函数，则ABC8084D8088【解答】解：因为函数，则，令，解得，且（1），由题意可知，的拐点为，故的对称中心为，所以，所以故选：【点评】本题考查了函数的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题6（2021春齐齐哈尔期末）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函
6、数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则A0B1C2D4【解答】解：，令，得，又（1），所以的对称中心为，所以，所以，故选：【点评】本题考查函数新定义，解题中需要理清思路，属于中档题7（2021武侯区校级模拟）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为ABCD【解答】解：由已知可得，方程在上有两解，即在上有解设，则，令，得，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增当时，取得最小值（1），时，时，实数的取值范围是故选：【点评】本题考查了导数的应用，函数零点与方程根的关系，属于中档题8（2021春海淀区校级期末）若函数，为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点
7、，则实数的取值范围是AB，CD【解答】解：根据题意，若函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则方程，即方程在区间上有两组解，设函数，其导数，又由，在有唯一的极值点分析可得：当时，为减函数；当时，为增函数，故函数有最小值（1），又由，（e），比较可得（e），故函数有最大值（e）故函数在区间上的值域为，；若方程在区间上有两组解，必有，则有，则的取值范围是，故选：【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题型9函数定义在上，已知的图象绕原点旋转后不变，则关于方程的根，下列说法正确的是A没有实根B有且仅有一个实根C有两个实根D有两个以上的实根【解答】解：函数定义在上，的图象绕原
8、点旋转后不变，与其反函数是同一个函数，关于对称，原点是它的对称点，当时，解得，是唯一解方程有且仅有一个实数根故选：【点评】本题考查实数的根的判断，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题二多选题（共3小题）10（2021沈河区校级四模）将函数的图象绕坐标原点顺时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图象，则的可能取值为ABCD【解答】解：要使曲线仍然是一个函数的图象，则需满足在旋转过程中，曲线的任意切线的倾斜角小于等于，由，则，当且仅当时，取得最小值，即在时出的切线的斜率最小，此时倾斜角为，故，故选：【点评】本题考查了导数的几何意义，考查了转化与化归思想，
9、属于中档题11（2021秋苍南县校级月考）取整函数：不超过的最大整数，如，取整函数在现实生活中有着广泛的应用，如停车收费、出租车收费等等都是按照“取整函数”进行计费的，以下关于“取整函数”的性质是真命题有A，B，C，则D，【解答】解：根据题意：对于选项：当时，故选项错误对于选项：当时，故选项正确对于选项：只要满足的整数或所取的整数相同，则，故选项正确对于选项：当，所以，故选项错误故选：【点评】本题考查的知识要点：数的取整问题，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题12（2021雨花区校级模拟）已知函数，且，函数，的图象绕坐标原点顺时针旋转所得新的函数图象与原函数图
10、象重合，其中可以取任意正整数，则的值不可能为A0BCD【解答】解：若，则通过连续顺时针旋转，依次可得,，此时对应,不符合函数概念，所以选项不可能对，同理选项也不可能对，而有可能成立，故选：【点评】本题考查函数的概念，一个只能对应一个，考查的方式比较创新，属于难题三填空题（共8小题）13（2021秋天心区校级月考）设函数（1）该函数的最小值为2；（2）将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角得到曲线若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的取值范围是【解答】解：（1）先画出函数的图象由图可知，该函数的最小值为 2（2）由图可知，当图象绕坐标原点顺时针方向旋转角大于等于时，曲线都不是一个函数的图
11、象则的取值范围是：，故答案为：2；，【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题14（2021秋岳麓区校级期中）设，为实数，记集合，若，分别为集合元素，的元素个数，则下列结论可能的是且且且且【解答】解：方程若有实数根，则方程也有实数根，且相应的互为倒数，且若，则方程与方程的根也互为倒数若，则满足且，故正确；若，则满足且，故正确；若，则满足且，故正确；若则方程有三个不同的实根，则他们的倒数也不同，故，则错误故答案为【点评】本题考查了集合中元素的个数及集合元素的特征，同时考查了二次方程的解，属于中档题15（2021秋西城区校级期中）设是含数1的有限实
12、数集，是定义在上的函数（1）若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则（1）是（填是或否）可能为1（2）若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则（1）可能取值只能是0【解答】解：（1）由题意得到：问题相当于圆上由4个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合我们可以通过代入和赋值的方法当（1）（2）通过代入，当（1），0时此时得到的圆心角为，0，然而此时或者时，都有2个与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个只能对应一个，因此只有当，此时旋转，此时满足一个只会对应一个，因此答案就选：故答案为：1；【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用16（2021香洲区校级模拟）已知函数
13、的图象关于直线对称，则8；的最大值为【解答】解：由题意，函数的图象关于直线对称，则且（1），所以，解得，所以，则，令，可得，当或时，则单调递增，当或时，则单调递减，因为，所以函数的最大值为16故答案为：8；16【点评】本题考查了函数对称性的应用，利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值，考查了学生逻辑思维能力与转化化归能力，属于中档题17（2021云南模拟）已知函数，若函数与，的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是，【解答】解：函数与，的图象上至少存在一对关于轴对称的点，等价于在，有零点，令，则，所以在，上，单调递增，在，上，单调递减，则（1），又（1），（4），因为（
14、4），所以（4），则（4），所以（4），（1），解得，即的取值范围是，故答案为：，【点评】本题主要考查函数图象的应用，函数的零点与方程根的关系，利用导数研究闭区间上函数的最值，综合性很强，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题18（2021春大同期中）已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为，【解答】解：函数关于轴对称的函数为，若函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，只需要方程有解，方程可化为，令，有，由函数单调递增，且（1），可得函数的减区间为，增区间为，可得，当时，可得函数的值域为，故实数的取值范围为，故答案为：，【点评】本题考查函数的导数的应用，函数与方程的应用，考查
15、构造法的应用，是难题19（2021景德镇模拟）对于定义域为的函数，若满足（1）；（2）当，且时，都有；（3）当，且时，都有，则称为“偏对称函数”现给出四个函数：；，则“偏对称函数”有1个【解答】解：由（2）可知，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以在上不单调，故不满足条件（2），所以不是“偏对称函数”；，由复合函数的单调性可知在上单调递减，故不满足条件（2），所以不是“偏对称函数”；对于，所以函数为偶函数，取，则，但，不满足条件（3），故不满足条件（3），所以不是“偏对称函数”；对于，满足条件（1），在上，为减函数，在上，为增函数，满足条件（2），令，在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，当，且时，所以，即，满足条件（3），所以是“偏对称函数”，所以“偏对称函数”有1个故答案为：1【点评】本题主要考查新定义，考查导数与单调性的关系，考查逻辑推理能力，属于中档题20（2021春连云港期末）曲线绕坐标原点逆时针旋转后得到的曲线的方程为【解答】解：设曲线上一点绕坐标原点逆时针旋转后对应点的坐标为，则，即，即，即，故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数图象的旋转变换，正确理解点的旋转变换公式，是解答的关键
