1、复数的四则运算一、学法建议： 1、在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。 2、复数加、减法的几何意义是难点，它们与平面向量的加、减法运算法则完全相同，用类比方法可 对照学习，温故而知新。 3、要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工 具运用于几何之中。 4、要熟练掌握复数乘法，除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。 5、在化简运算中,如能合理的运用i和 的性质，常能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累 并灵活运用。 6、性质：zz=
2、z2=z2是复数运算与实数运算互相转化的重要依据，也是把复数看做整体进行 运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。二、例题分析： 第一阶段例1复数z满足z+i+z-i=2求z+1+i的最值。 思路分析： 利用复数的几何意义对条件和所求结论分别给以几何解释，如能判断满足条件的z点在一条线段上， 所求结论为线段上的点到点（-1,-1)的距离的最值. 解答： z+i+z-i=2表示复数z的对应点Z与点A(0,-1)B(0,1)距离之和为2,而AB=2条件表示以A、 B为端点的线段，而z+1+i=z-(-1-i)表示点Z到点C(-1,-1)的距离，因而，问题的几何意义是 求线段AB上的点到C点距离
3、的最大值与最小值，如图 易见z+1+imax=BC= , z+1+imin=AC=1, 例2 思路分析： 题目涉及共轭复数、模以及复数的加、减运算，把Z表示成代数形式，依复数相等的充要条件求出Z 的值。 解答： 第二阶段例3 思路分析： 题目是用集合的语言表述的，由两点间距离公式d=z1-z2联想z-22的几何意义，再结合条件 A B=B来建立关于b的等式，这里需要对集合B作深入理解。 解答： 化简得W-(b+i)1 集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点（2,0)为圆心，半径为2的圆面， 集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面. 又A B=B即B A两圆内含 即
4、(b-2)20，b=2例4计算下列各式 思路分析：原式结构特点启发我们应用i的性质和 的性质为突破口去简化计算. 解答： (1) (2) 例5 思路分析： 确定实数a、b的值，需列出含a、b的两个方程，条件z=4易使用，对于正三角形这个条件的使用方 法较多，本题转化为边长相等，即z=z=z-z 解答: 由z=4得a2+b2=4 复数0，z,z对应的点构成正三角形， z-z=z 把z=-2a-2bi代入简得b=1 又Z点在第一象限a0,b0 第三阶段例6 (1)求z的值及z的实部的取值范围 (3)求 -u2的最小值。 思路分析： （1）常规题目，设z=a+bi化简 ，找出实部、虚部可列出等量关系
5、式，求解（2）证明u为 纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零，还可证u+u=0,(3)需求 的最小值，由知 与u2均为实数，所以可先建立的函数关系式，再设法求出最小值。 解答： 例7 思路分析： 证法1:z1+z2=z1-z2,z1+z22=z1-z22, 展开化简得z1z2+z1+z2=0 z10,z20，两边同除以z2z2, 证法2:z1+z2=z1-z2,且z1、z2为非零复数, 以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是矩形， OZ1OZ2,得z1=kiz2(k R且k0) 三、练习题：1、设f(z)=z,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)是( ) A、1-3i B、-2
6、+11i C、-2+i D、5-5i2、A、B分别是复数z1、z2在复平面上对应的两点，O是原点，若z1+z2=z1-z2，则AOB是( ) A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三形3、若复数z满足z=z+2+2i,则z-1+i的最小值是( ) A、4 B、 C、2 D、 4、若z-3+z+3=10且z-5i-z+5i=8，则Z等于( ) A、4i B、-4i C、4i D、以上都不对5、复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1z2在复平面内的对应点位于() A、第一象限 B、第二象限C、第三象限 D、第四象限6、若z C,且zz+iz-iz0，则z+1+i的最大值为
7、( ) A、3 B、 C、 D、 7、 A、0 B、1 C、aD、 8、复数z满足(1+2i)z=4+3i，那么z=_10、复数3+3i，-5i,-2+i对应点分别为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点对应的复数为_11、己知f(z+i)=z+2z-2i，则f(i)=_12、解答题：（1） （2） 13、 四、参考答案： 15 D B D B D 67 C B 8、2+i 9、2m 10、1+9i,5-3i,-5-7i 11、-2i 13、设z1=(1-3x)+2i,z2=3x+i则f(x)=z1+z2z1+z2 即f(x)(1-3x)+2i+3x+i=1+3i= 高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
