1、2.4.2抛物线的简单几何性质目标 1.掌握抛物线的图形和简单几何性质.2.能运用性质解决与抛物线有关的问题重点 应用抛物线的几何性质解决相关弦问题难点 直线与抛物线的位置关系问题知识点一抛物线的简单几何性质填一填答一答1抛物线的离心率为什么是1?提示：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，而抛物线的离心率是抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，故抛物线的离心率是1.这与椭圆、双曲线不同，椭圆的离心率0e1，注意区别知识点二抛物线的焦点弦填一填抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点
2、弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为答一答2若过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x26，则|AB|是多少呢？提示：|AB|x1x2px1x228.3以抛物线的一条焦点弦为直径的圆与抛物线的准线有什么位置关系呢？提示：相切，根据抛物线定义，圆心到准线的距离等于半弦长即圆的半径1.抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线2.抛物线只有一条对称轴，没有对称中心3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同4.抛物线的离心率e1(定值)5.抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点
3、到准线的距离，由方程y22px(p0)知，对同一个x，p越大，|y|也越大，说明抛物线开口越大6.抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看作是双曲线的一支类型一抛物线的简单几何性质【例1】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程【分析】因为圆和抛物线都关于x轴对称，所以它们的交点也关于x轴对称，即公共弦被x轴垂直平分，于是由弦长等于2，可知交点纵坐标为.【解】如图，设所求抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)上，求这个三角形的边长解：如图所示，设正三角形O
4、AB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，y2px1，y2px2.又|OA|OB|，xyxy，即xx2px12px20.(x1x2)(x1x22p)0.x10，x20,2p0，x1x22p0.x1x2.即A、B两点关于x轴对称，则AOx30.ABx轴，y1x1tan30x1.又x1，y12p.而|AB|2y14p即为所求边长类型二抛物线中过焦点的弦长问题【例2】如图，斜率为的直线l经过抛物线y22px的焦点F(1,0)，且与抛物线相交于A、B两点(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；(2)求线段AB的长【分析】(1)由抛物线焦点坐标得p值，求出抛物线方程及准线方程
5、(2)由过焦点直线方程与抛物线方程联立，利用焦点弦长公式可解【解】(1)由焦点F(1,0)，得1，解得p2.所以抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线l的方程为y(x1)与抛物线方程联立，得，消去y，整理得4x217x40，由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p2.所以，线段AB的长为.过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长问题是抛物线中常见问题.解决此类问题，通常有三种解法：(1)焦点弦长公式；(2)两点间距离公式；(3)弦长公式.其中焦点弦长公式是此类问题的最直接解法，联立方程，利用根与系数关系，可直接求解，省略了求两交点坐标的过程，简便易行.
6、但解题时应注意直线与抛物线相交这一前提，可以使运算、化简简便，另外解题时注意整体代入的思想.设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点(1)设l的斜率为2，求|AB|的大小；(2)求证：是一个定值解：(1)依题意得F(1,0)，所以直线l的方程为y2(x1)设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得x23x10，所以x1x23，x1x21.所以|AB|AF|BF|x1x2p325.(2)证明：设直线l的方程为xky1，设直线l与抛物线的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x整理得y24ky40，所以y1y24k，y1y24.因为
7、(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143，所以是一个定值类型三直线与抛物线的位置关系【例3】已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点F的距离为5.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C与直线yx4相交于不同的两点A、B，求证：OAOB.【分析】(1)可转化为点P到准线的距离(2)OAOB0，即x1x2y1y20.【解】(1)由题意设抛物线方程为y22px(p0)，其准线方程为x，P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，45，p2，抛物线C的方程为y24x.(2)证
8、明：由消去y，得x212x160，0，直线yx4与抛物线相交于不同两点A、B，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x212，x1x216，x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，即OAOB.将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解.已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分(1)求抛物线E的方程；(2)求直线AB的方程解：(1)由于抛物线的
9、焦点为(1,0)，1，p2，所求抛物线方程为y24x.(2)解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1，y4x2，且x1x24，y1y22，由得(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，2，所以所求直线AB的方程为y12(x2)，即2xy30.解法二：显然AB不垂直于x轴，故可设弦AB所在的直线方程为y1k(x2)，k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程消去x整理得ky24y8k40，y1y2，又M点是AB的中点，y1y22，k2，故直线AB的方程为y12(x2)，即2xy30.类型四素养提升探究抛物线的焦点弦问题【例4】已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交
10、抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(1)x1x2是否为定值？(2)是否为定值？【思路分析】【精解详析】(1)抛物线y22px的焦点为F(，0)，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x)(k0)由，消去y，整理得k2x2p(k22)x0.由根与系数的关系得x1x2(定值)当AB垂直于x轴时，x1x2，x1x2也成立所以x1x2为定值.(2)由抛物线的定义知，|FA|x1，|FB|x2.(定值)，所以为定值.【解后反思】直线与抛物线相交问题中有很多的定值问题，如果该定值是个待求的未知量，则可以利用特殊位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出该定值，然后证明该定值即为所求例4条件
11、不变求证：y1y2p2.证明：斜率不存在时y1p，y2p，y1y2p2.斜率存在时，消去x整理得yk，y1y2p2.综上，y1y2p2.1过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则的值是(D)A12B12 C3 D3解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2y1y2p2p2，又p2，3.2直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k(C)A2或1 B1 C2 D3解析：由得k2x2(4k8)x40.由(4k8)216k20，得k1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，解得k2或k1(舍去)3线段AB是抛物线y2x的一条
12、焦点弦，且|AB|4，则线段AB的中点C到直线x0的距离为.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|x1x2p4，x1x24，中点C(x0，y0)到直线x0的距离为x0.4如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则1.解析：由题意，知C，F.又C，F在抛物线y22px(p0)上，所以由，得，即b22baa20，解得1(负值舍去)故1.5已知抛物线y24x截直线y2xm所得弦长|AB|3，求m的值解：由得4x24(m1)xm20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1x21m，x1x2，|AB|.由|AB|3，即3，解得m4.
