1、专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题高考在考什么【考题回放】1已知双曲线(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C )A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+)2 P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点,则|PM|PN|的最大值为( B )A. 6 B.7 C.8 D.93抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )A B C D4已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率
2、e的最大值为:(B)(A) (B) (C) (D)5已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是 32 .6设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求(1)动点P的轨迹方程;(2)的最小值与最大值.【专家解答】(1)法1:直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.记A(x1,y1),B(x2,y2),由题设可得点A、B的坐标 (x1,y1)、 (x2,y2)是方程组 的解. 将代入并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0,所
3、以于是设点P的坐标为(x,y), 则消去参数k得4x2+y2-y=0 当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0 解法二:设点P的坐标为(x,y),因A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,所以 得,所以当时,有 并且 将代入并整理得 4x2+y2-y=0 当x1=x2时,点A、B的坐标为(0,2)、(0,2),这时点P的坐标为(0,0)也满足,所以点P的轨迹方程为 (2)由点P的轨迹方程知所以 故当,取得最小值,最小值为当时,取得最大值,最大值为高考要考什么【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题,因其考查的知识容量大、分析能力要
4、求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决:(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系;(2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围;(3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。(4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思;(5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式
5、。因此,它们的应用价值在于: 通过参数简明地表示曲线上点的坐标; 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题;(6)构造一个二次方程,利用判别式D0。突破重难点【范例1】已知动点P与双曲线的两个焦点F1、F2的距离之和为定值,且cosF1PF2的最小值为()求动点P的轨迹方程; ()若已知D(0,3),M、N在动点P的轨迹上且,求实数l的取值范围讲解()由题意c2=5设|PF1|+|PF2|=2a(),由余弦定理, 得 又, 当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|PF2| 取最大值,此时cosF1PF2取最小值,令,解得a2=9,b2=4,故所求P的轨迹方程为. ()
6、设N(s,t),M(x,y),则由,可得(x,y-3) =l(s,t-3),故x=ls,y=3+l(t-3). M、N在动点P的轨迹上,且,消去s可得,解得,又|t|2,解得,故实数l的取值范围是【点晴】为了求参数的取值范围,只要列出关于参数的不等式,而建立不等式的方法有多种方法,诸如:判别式法、均值不等式法、有界性法等等【文】已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件.记动点的轨迹为W.()求W的方程;()若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.解:()依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所求方程为: (x0)()当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为
7、xx0,此时A(x0,),B(x0,),2 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为ykxb,代入双曲线方程中,得:(1k2)x22kbxb220依题意可知方程1有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2),则解得|k|1,又x1x2y1y2x1x2(kx1b)(kx2b)(1k2)x1x2kb(x1x2)b22综上可知的最小值为2【范例2】给定点A(-2,2),已知B是椭圆上的动点,F是右焦点,当取得最小值时,试求B点的坐标。解析:因为椭圆的,所以,而为动点B到左准线的距离。故本题可化为,在椭圆上求一点B,使得它到A点和左准线的距离之和最小,过点B作l的垂线,垂点为N,过A作
8、此准线的垂线,垂点为M,由椭圆定义于是 为定值其中,当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立,此时B为所以,当取得最小值时,B点坐标为【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时,常常用圆锥曲线的定义化折为直,是一种简便而有效的好方法。【文】点A(3,2)为定点,点F是抛物线y2=4x的焦点,点P在抛物线y2=4x上移动,若|PA|+|PF|取得最小值,求点P的坐标。解:抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,设P到准线的距离为d,则|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF|取得最小值,由图3可知过A点的直线与准线垂直时,|PA|+|PF|取得最小值,把y=2代入y2=4x,得P
9、(1,2)。【范例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动,Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。解:故先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值,只要求|O1Q|的最大值.设Q(x,y),则|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) 将代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因为Q在椭圆上移动,所以-1y1,故当时,此时【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。【文
10、】设P是椭圆短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值。解: 依题意可设P(0,1), Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,所以x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因为|y|1,a1, 若a, 则|1, 当y=时, |PQ|取最大值;若1a0,所以。10已知A(2,0),B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB,且满足kPAkPB=t (t0且t1).()求动点P的轨迹C的方程;()当t0时,曲线C的两焦点为F1,F2,若曲线C上存在点Q使得F1Q
11、F2=120O,求t的取值范围解:() 设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x24)+=1,轨迹C的方程为+=1(x2). () 当1t0时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆,设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则r1+ r2=2a=4.在F1PF2中,|F1F2|=2c=4, F1PF2=120O,由余弦定理得4c2=r+r2r1r2cos120= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16(1+t)12, t.所以当t0时,曲线上存在点Q使F1QF2=120O 当t1时,曲线C为焦点在y轴上的椭圆,设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则r1+ r2=2a= -4t,在F1PF2中,|F1F2|=2c=4.F1PF2=120O,由余弦定理得4c2=r+r2r1r2cos120= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16(-1-t)-12t, t4. 所以当t4时,曲线上存在点Q使F1QF2=120O综上知当t0时,曲线上存在点Q使AQB=120O的t的取值范围是.