1、第2课时 双曲线的几何性质及应用A级基础巩固1.若斜率为2的直线与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)恒有两个公共点,则双曲线的离心率的取值范围是()A.2,+)B.(2,+)C.(1,3)D.(3,+)解析:因为斜率为2的直线与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)恒有两个公共点,所以ba2,所以e=ca=1+b2a23,所以双曲线离心率的取值范围是(3,+).答案:D2.过双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F作圆C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长FM交双曲线C1于点N,若点M为线段FN的中点,则双曲线C1的离心率为()A.5+1B.52C.5D.
2、5+12解析:设双曲线的右焦点为F1,由题意,得|FN|=2b,|F1N|=2a,|FN|-|F1N|=2a,所以b=2a,则e=ca=1+ba2=5.答案:C3.经过双曲线x24-y2=1的右焦点的直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线的条数为()A.4B.3C.2D.1解析:由双曲线方程x24-y2=1,可得a=2,b=1.若直线AB只与双曲线右支相交,则AB的最小值是2b2a=1.因为|AB|=41,所以此时有两条直线符合条件.若直线AB与双曲线两支都有交点,则AB的最小距离是2a=4,距离无最大值.因为|AB|=4,所以此时有1条直线符合条件.综上可得,共有3条直线符
3、合条件.答案:B4.若直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的左、右支各有一个公共点,则k的取值范围是-1k0,-51-k20,解得-1k0.所以|AB|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+1)82-436+3=8(12-)3=833.解得=4,经检验,=4符合题意,所以所求双曲线方程是x24-y2=1.B级拓展提高7.在双曲线x29-y24=1中,被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是()A.8x-9y=7B.8x+9y=25C.4x+9y=6D.不存在解析:因为点P(2,1)为弦的中点,由双曲线的对称性,知当直线斜率不存在时,不符合题意.假设直线的斜率存在,设直线方程为y
4、-1=k(x-2),将y=k(x-2)+1代入双曲线方程,得(4-9k2)x2+(36k2-18k)x-36k2+36k-45=0,且4-9k20,则=(36k2-18k)2-4(4-9k2)(-36k2+36k-45)0.设弦的两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=18k-36k24-9k2=4,解得k=89,代入,得a0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直,直线l与两条渐近线分别交于点M,N,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=33xB.y=3xC.y=22xD.y=2x解析:因为|NF1|=2|MF
5、1|,所以M为NF1的中点.又因为OMF1N,所以F1OM=NOM.又因为F1OM=F2ON,所以F2ON=60,所以双曲线C的一条渐近线的斜率为k=tan 60=3,即双曲线C的渐近线方程为y=3x.答案:B9.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),过原点作一条倾斜角为3的直线分别交双曲线的左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线的离心率为3+1.解析:设P(x1,y1),Q(x2,y2).由题意,知直线PQ的方程为y=3x,代入双曲线方程并化简,得x2=a2b2b2-3a2,y2=3x2=3a2b2b2-3a2.由对称性,可知x1+x2=0,x1x2=-a
6、2b2b2-3a2,y1y2=3x1x2=-3a2b2b2-3a2.设F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故FPFQ=0,即(x1-c,y1)(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边同除以a4,得ba4-6ba2-3=0,解得ba2=3+23或ba2=3-23(舍去).故离心率e=1+ba2=4+23=3+1.10.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F2且与该双曲线的右支交于A,B两点,ABF1的周长为7a,则该双曲线的离心率的取值范围是1,72.解析:设|AF2|=m,|BF2|=n.
7、由双曲线的定义可得|AF1|=2a+m,|BF1|=2a+n,则ABF1的周长为m+n+2a+m+2a+n=4a+2(m+n)=4a+2|AB|=7a,所以|AB|=32a.由x=c,可得y=bc2a2-1=b2a,则|AB|的最小值为2b2a,即有32a2b2a,可得b2a234,则e=ca=1+b2a2 1+34=72.又因为e1,所以10,b0)与双曲线y26-x22=1的渐近线相同,且经过点(2,3).(1)求双曲线C的方程;(2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过点F2,倾斜角为34,且与双曲线C交于A,B两点,求F1AB的面积.解:(1)设所求双曲线C的方程为y2
8、6-x22=(0,所以x1+x2=-2,x1x2=-72.由弦长公式,得|AB|=1+14-4-72=6,点F1(-2,0)到直线AB:x+y-2=0的距离d=|-2+0-2|2=22,所以SF1AB=12|AB|d=12622=62.12.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,右顶点为(1,0).(1)求双曲线C的方程;(2)设直线y=-x+m与y轴交于点P,与双曲线C的左、右两支分别交于点Q,R,且|PQ|PR|=2,求m的值.解:(1)因为e=ca=2,a=1,所以c=2,b=3.所以双曲线C的方程为x2-y23=1.(2)设点Q的横坐标为xQ,点R的横坐标为x
9、R.根据平行线分线段成比例定理,得|PQ|PR|=|xQ|xR|=2,联立y=-x+m,x2-y23=1,消去y,得2x2+2mx-3-m2=0,对于任意m,0.由题意,得xQ00,所以直线x-2y-1=0和双曲线C有两个公共点,所以该选项正确.答案:ACD14.多选题已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,A为左顶点,P为双曲线右支上一点,若|PF1|=2|PF2|,且PF1F2的最小内角为30,则()A.双曲线的离心率为3B.双曲线的渐近线方程为y=2xC.PAF2=45D.直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点解析:A项,因为|PF1|=2|PF2|
10、,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因为2c2a,4a2a,所以PF1F2=30,所以cos PF1F2=16a2+4c2-4a224a2c=32,所以c=3a,所以离心率e=3,故此选项正确.B项,因为e2=1+b2a2=a2+b2a2=3,所以b2a2=2,所以ba=2,所以双曲线的渐近线方程为y=2x,故此选项正确.C项,因为2c=23a,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,所以PF2F1=90,又因为|AF2|=c+a=(3+1)a,|PF2|=2a,所以|AF2|PF2|,所以PAF245,故此选项错误.D项,因为c=3a,所以b2=2a2.联立x+2y-2=0,x2a2-y22a2=1(a0),消去x,得2(2-2y)2-y2=2a2,所以7y2-16y+8-2a2=0.因为=162-47(8-2a2)=32+56a20,所以直线x+2y-2=0与双曲线有两个公共点,故此选项正确.答案:ABD
