1、高考资源网（） 您身边的高考专家第二节函数的单调性与最值【最新考纲】1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x10，则函数f(x)在区间D上是增函数()(2)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(3)函数y|x|是R上的增函数()(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()答案：(1)(2)(
2、3)(4)2如果二次函数f(x)3x22(a1)xb在区间(，1)上是减函数，则()Aa2Ba2Ca2 Da2解析：二次函数的对称轴方程为x，由题意知1，即a2.答案：C3在下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)解析：显然y是(0，)上的增函数；y(x1)2在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数；y2x()x在xR上是减函数；ylog0.5(x1)在(1，)上是减函数答案：A4(2015湖南卷)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0，1)上是增函数B奇函数，且在(0，1)上是减函数C偶函数，且
3、在(0，1)上是增函数D偶函数，且在(0，1)上是减函数解析：易知f(x)的定义域为(1，1)，且f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，则yf(x)为奇函数，又yln(1x)与yln(1x)在(0，1)上是增函数，所以f(x)ln(1x)ln(1x)在(0，1)上是增函数答案：A5(2016衡水模拟)对于任意实数a，b，定义 mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2 x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_解析：作出函数yh(x)的图象(如图实线部分)可知当x2时，h(x)有最大值1.答案：1一个防范单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间分别
4、写，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结二条结论1闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到2开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性一、选择题1下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的单调增函数是()Af(x)Bf(x)2xCf(x)ln x Df(x)3x解析：f(xy)f(x)f(x)函数yf(x)为指数函数模型又yf(x)为定义域
5、上的增函数因此只有f(x)3x满足条件答案：D2若函数f(x)x22ax与g(x)(a1)1x在区间1，2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1，0) B(1，0)(0，1)C(0，1) D(0，1解析：f(x)x22ax(xa)2a2在1，2上是减函数，a1.又g(x)(a1)1x在1，2上是减函数a11，a0.由知，0a1.答案：D3定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最值等于()A1 B1C6 D12解析：根据新运算“”的定义，当2x1时，f(x)x2；当1x2时，f(x)x32所以f(x)又f(x)x2，f(x)x32在其
6、定义域内均为增函数当2x1时，f(x)f(1)121.当1x2时，f(x)f(2)2326.因此函数f(x)的最大值为6.答案：C4(2015陕西卷)设f(x)ln x，0ab，若pf()，qf()，r(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqrp BqrpCprq Dprq解析：0ab，.又函数f(x)ln x在(0，)上为增函数故f()f()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)lnf()p.因此prq.答案：C5(2016河南联考)已知函数f (x)在区间(2，)上是增函数，且g(x)(a1)x.若不等式g()g(x)成立，则实数x的取值范围是()A(1，1) B(
7、0，1)C(1，0) D(1，0)(1，)解析：函数f(x)在区间(2，)上是增函数a1.因此g(x)(a1)x在(，)上是增函数由g()g(x)，得x.解之得x1或1x0.所以满足不等式的实数x的范围为(1，0)(1，)答案：D6已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2都有0，则实数a的取值范围为()A(0，1) B.C. D.解析：依题设，知函数yf(x)在R上是减函数当x1时，loga10，因为f(x)为R上的减函数，则(3a1)x4a0在x1时恒成立令g(x)(3a1)x4a，则必有即a.答案：C二、填空题7若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则实数a_解析：f(x)f(x
8、)在(，)上单调递减，在，)上单调递增因此，依题意得，3，a6.答案：68(2016郑州质检)设函数f(x)的最小值为2，则实数a的取值范围是_解析：当x1时，f(x)2，当x1时，f(x)a1.由题意知a12，a3.答案：3，)9(2014课标全国卷)已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_解析：f(2)0，f(x1)0，f(x1)f(2)又f(x)是偶函数且在0，)上单调递减f(|x1|)f(2)，则|x1|2，解得1x3.答案：(1，3)三、解答题10已知函数f(x)(a0，x0)，(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在，
9、2上的值域是，2，求a的值(1)证明：设x2x10，则x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)()()0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数(2)解：f(x)在，2上的值域是，2，又f(x)在，2上单调递增，f()，f(2)2.解得a.11已知函数f(x)lg(x2)，其中a0且为常数(1)当a(1，4)时，求函数f(x)在2，)上的最小值；(2)若对任意x2，)恒有f(x)0，试确定实数a的取值范围解：(1)设g(x)x2，x2，)，且a(1，4)g(x)10因此g(x)在2，)上是增函数所以f(x)在2，)上是增函数，则f(x)minf(2)ln.(2)对任意x2，)，恒有f(x)0.则x21对x2，)恒成立a3xx2.令h(x)3xx2.x2，)由于h(x)(x)2在2，)上是减函数h(x)maxh(2)2.故a2时，恒有f(x)0.因此实数a的取值范围为(2，)高考资源网版权所有，侵权必究！
