1、递推关系的求解一 基本概念定义：确定的数列称为递推数列。（为其的阶）二 基本解法（1）（2） （3）常系数线性齐次递推关系将（2）称为（1）的特征方程若是（2）的重根，则（1）的个特解分别为个特解的线性组合就是（1）的通解。设找到，使 令可得.从而为的根。结论：，若有两个不动点，则，这里。若只有一个不动点，则，这里三 常用思想：1 不动点，特征根2 无理化有理（取对数，化新数列）3 多元化少元4 高次化低次5 高阶降低阶6 非线性化线性7 非齐次化齐次8 猜想试解P103 例6 在正项数列中，求通项公式。解 对两边取对数，得 即 这说明数列是首项为，公比为的等比数列，则有 故 P104例8 设
2、数列满足且 求证：是完全平方数。证 由式可得并代入式，得 两式相减 由方程 ，得 那么通解为 由,代入上式解出，得 因为为正偶数，所以，是完全平方数.P106 例9 数列中，.解 构建数列.故 化简得 所以 数列是以2为首项，1/2为公比的等比数列. 所以 P107 例10已知满足，且，求.解: 是二阶线性非齐次递推数列，先设法将它转化为一阶递推关系， 故条件变形为：可见是常数列，逐次递推得即 P107 例11设满足，求.解：，解方程,得于是由定理10得，则： 由已知可得，解得P108 例12已知满足，且，求.解：，故 两式相减得即 则，根据特征方程求解.P108 例13设正数列满足,求.解：
3、把递推关系改写为 令，则为 对两边取对数，得 令，则为利用不动点性质有 即 故 其中，即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知为常数数列，逆推上去，得，则，故是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式可知.P109 例14数列定义为：，求证：对任意的自然数，表示不超过的最大整数。证明：递推关系较为复杂，结论又未给出的表达式，不妨通过归纳法探索的表达式：当时，当时， 由此可以猜想：. 问题转化为证明这一猜想，再证可被3整除。可令当时，成立；假设当和时式成立，则时，由的递推关系及 可证：，又由，故为正整数，为内的纯小数。所以成立。P110 例15设满足，且，求.解：令，则令且所以 利用不动点性质，有 所以，又，令，则，所以把上述代入可得，即，故.
