1、高一数学暑假作业一单选题1. 已知复数z的实部为1，虚部为-2，则1z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 某学校根据学生对课堂改革的喜爱程度进行调查，参加调查的共有2000人，调查结果如下表：喜欢程度很喜欢喜欢一般不太喜欢人数/人500900450150学校领导为了解学生更具体的想法，打算从中抽选出40人进行更详细的调查.若采用分层抽样，则在喜欢和不太喜欢的人中应抽取的人数分别为( )A. 10，3B. 18，3C. 18，9D. 10，93. 已知a，b为不同的两条直线，为不同的两个平面，则a/b的一个充分条件是A. a/，b/B. a/，bC
2、. a/，a，=bD. /，a，b4. 等腰梯形ABCD中，AB=2DC，则向量AD在向量AB上的投影向量为( )A. 34ABB. 34ABC. 14ABD. 14AB5. 如图，已知OAB，若点C满足，则1+1=( )A. 13B. 23C. 29D. 926. 在ABC中，若，则ABC的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形7. 一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为3，那么这个四棱锥体积为()A. 43B. 423C. 83D. 8238. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子
3、的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看作所有棱长均为4cm的正四棱锥.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的半径为()A. 6+2B. 6-2C. 3+1D. 3-19. 如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中错误的是()A. ACSBB. 平面SCD平面SADC. SA和SC与平面SBD所成的角相等D. 异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角相等10. 在直角三角形ABC中，A=30，B=90，以AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积为9，则AC
4、的长为( )A. 23B. 3C. 32D. 655二多选题11. 2021年5月1日，第七次全国人口普查结果公示，全国人口共141178万人，其中男性人口为72334万人.下图是7次人口普查全国人口的柱状图和年平均增长率的折线图，以下结论正确的是A. 我国人口总量保持持续增长B. 1964-1982年人口增长较快，之后人口增长率呈下降趋势C. 从第七次人口普查得知女性人口占比超过了50%D. 从普查结果来看，1982年我国人口突破了10亿人12. 袋子里有4个大小、质地完全相同的球，其中有2个红球、2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，事件A=“两个球颜色相同”，事件B=“两个球颜色不同
5、”，事件C=“第二次摸到红球”，事件D=“两个球都是红球”.下列说法正确的是( )A. P(AB)=1B. C与D互斥C. DCD. P(B)=P(C)+P(D)13. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD的中点，把BAE和CDE分别沿BE，CE折起，使得A，D两点重合为一点P.下列四个命题正确的是( )A. PE平面PBCB. 直线PE与直线BC所成的角为60C. 二面角P-BC-E的大小为30D. 点P到平面BCE的距离为314. 在ABC中，A=60，周长为10，面积为532，则A. ABC为钝角三角形B. AB+AC=C. BC=D. BC边上的高为2三填空题15. 写出一个满足
6、|z-i|=2的复数z=16. 已知一组数据4，10-2a，1，2+a，6的平均数为4，则a=，这组数据的方差为17. 已知球O的半径为6，点A，B，C均在球O的表面上，且ABC外接圆的面积为8，则点O到平面ABC的距离为18. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，E为对角线AC上一点，且AE=BE，F为DC中点，则AEBF=19. 已知向量a=(2,7)，b=(x,3)，且a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为_四解答题20. 已知向量a，b，c，a=(-32，12)，|b|=2，c=a+b，且(a-b)a(1)求|c|;(2)求cos.21. 从2ccosA-a=2b，(2a+b)cosC
7、+ccosB=0，b(sinA+4cosCsinA)+asinB=0这三个条件中任选一个，补充在下面的已知中，并解答已知：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_(1)求角C;(2)求sinA+sinB的取值范围22. 2021年新冠疫情仍未平息，接种疫苗是防止新冠疫情最有效的手段.今年5月，某地区疫苗接种出现了排长队现象，为了了解该地区接种人群的等待时间(从到达接种点到接种完成，不包括接种后的观察时间)，随机调查了该地区某天接种的100人，制成了如下频率分布直方图(1)求样本中等待时间大于60分钟的人数;(2)根据频率分布直方图，估计这100名接种者等待时间的平均值(各组区间的数据
8、以该组区间的中间值作代表)23. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，ACB=120，AA1=3(1)证明：A1B1/平面ABC1;(2)求点C到平面ABC1的距离24. 2020年是我国全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物A，B，鼓励每户选择其中一种种植.为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了500户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物A，B相互独立(1)分别估计甲、乙两村选择种植农作物A的概率;(2)以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽
9、取2户，求至少有2户选择种植农作物B的概率;(3)经调研，农作物A的亩产量为800斤、900斤、1000斤的概率分别为15，25，25，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物A，求这两个农户中，甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村的概率25. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点，二面角D-PN-C的正切值为2(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)证明：DMPC;(3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了复数的概念与除法运算及复数的几何意义，属于
10、基础题先根据复数的概念与运算得到1z的代数一般形式，再由复数的几何意义作答即可【解答】解：易知z=1-2i，则1z=11+2i=1-2i(1+2i)(1-2i)=15-25i，所以1z在复平面内对应的点为(15,-25)，所以在第四象限2.【答案】B【解析】【分析】本题考查分层抽样，由已知求出每类人中各应抽选出的人数之比，然后利用分层抽样的特点求解即可【解答】解：从喜欢的人中应抽选的人数为409002000=18，从不太喜欢的人中应抽选的人数为401502000=3，故选B3.【答案】C【解析】【分析】本题考查直线与直线平行的判断，根据线面平行的性质判定C正确【解答】解：对于A.直线a，b可能
11、平行、相交或异面;对于B，D，直线a，b可能平行或异面，由线面平行的性质可知C正确，故选C4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影的定义【解答】解：由AB=2DC可知，AB/DC且AB=2DC，过点D作DEAB，垂足为E，则AE=14AB，所以向量AD在向量AB上的投影向量为14AB故答案为C5.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量的运算以及平面向量基本定理，属于基础题根据向量的三角形法则和向量的数乘运算用向量OA、OB表示出向量OC，从而求出=13，=23，再代值计算即可【解答】解：OC=OA+AC=OA+23AB=OA+23(OB-OA)=13OA+23OB
12、，=13，=23，1+1=3+32=92故选D6.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角形的形状的判断，注意运用正弦定理和三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题运用二倍角的余弦公式和正弦定理，以及二倍角的正弦公式，化简整理即可判断三角形的形状【解答】解：由已知1+cos2C1+cos2B=2cos2C2cos2B=cos2Ccos2B=bcosCccosB，所以cosCcosB=bc或cosCcosB=0即C=90或cosCcosB=bc，由正弦定理，得sinCcosC=sinBcosB，即sin2C=sin2B，因为B、C均为ABC的内角，所以2C=2B或2C+2B=180，所以B
13、=C或B+C=90，所以ABC为等腰三角形或直角三角形故选：D7.【答案】B【解析】解：一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为3，正四棱锥S-ABCD中，侧面SBC的斜高SE=3，设AB=a，则SE=a2-(a2)2=3a2=3，解得a=2，过SO平面ABCD，垂足为O，连结OE，则OE=a2=1，SO=3-(a2)2=2，这个四棱锥体积为：V=13SOSABCD=13222=423故选：B设AB=a，则SE=a2-(a2)2=3a2=3，解得a=2，由此能求出这个四棱锥体积本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题8.【答案】B【解
14、析】解：由粽子的形状是所有棱长均为4cm的正四棱锥，得每个侧面三角形的面积为124432=43cm2粽子的表面积为443+44=(163+16)cm2；球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切，正四棱锥的高为h=42-(22)2=22cm，设球的半径为r，四棱锥的体积V=13(163+16)r=131622，解得r=6-2cm故选：B由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可求，求出正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径本题考查空间几何体的结构特征及相关计算，考查运算求解能力，是中档题9.【答案】D【解析】解：四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD底面AB
15、CD，对于A，由题意得ACBD，ACSD，BDSD=D，BD、SD平面SBD，AC平面SBD，SB平面SBD，ACSB，故A正确；对于B，由题意知ADCD，SDCD，ADSD=D，AD，SD平面ASD，CD平面ASD，CD平面SCD，平面SCD平面SAD，故B正确；对于C，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，DS=t，则S(0,0，t)，A(1,0，0)，C(0,1，0)，B(1,1，0)，D(0,0，0)，DB=(1,1，0)，DS=(0,0，t)，SA=(1,0，-t)，SC=(0,1，t)，设平面SBD的法向量n=(x,y，z)，则nDB=x+
16、y=0nDS=tz=0，取x=1，得n=(1,-1,0)，设SA和SC与平面SBD所成的角分别为，则sin=|nSA|n|SA|=121+t2，sin=|nSC|n|SC|=121+t2，SA和SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；对于D，由C得AB=(0,1，0)，SC=(0,1，t)，CD=(0,-1,0)，SA=(1,0，-t)，cos=ABSC|AB|SC|=11+t2，cos=CDSA|CD|SA|=0，异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角不相等，故D错误故选：D对于A，由ACBD，ACSD，得AC平面SBD，从而ACSB；对于B，由ADCD，SDCD，得CD平面
17、ASD，从而平面SCD平面SAD；对于C，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出民SA和SC与平面SBD所成的角相等；对于D，利用向量法能求出异面直线AB与SC所成的角和异面直线CD与SA所成的角不相等本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题10.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆锥的表面积设出BC的长度，利用已知表面积求出BC的长度，即可求出AC的长度【解答】解：以AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所形成的面所围成的几何体为圆锥，设BC=x，则AC=2x
18、，所以(x2+x2x)=9，解得x=3，所以AC=23故答案选A11.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查折线图、柱状图的性质等基础知识，是基础题利用折线图、柱状图的性质直接求解【解答】解：由图可知，选项A，B，D都正确，对于C，第七次人口普查男性人口占比为7233414117851.2%，所以C错误12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查互斥事件的判定以及古典概型对红球与白球进行编号，列出所有基本事件，对选项逐一判断即可【解答】解：设2个红球的标号为1，2，2个白球的标号为3，4所有试验结果有(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)
19、，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，共12个事件A包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)，共4个;事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，共8个;事件C包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，共6个;事件D包含的基本事件有(1,2)，(2,1)，共2个所以A，C正确，B错误;P(B)=812=23，P(C)=612=12，P(D)=212=16，所以P(B)=P(C)+P(D)，D正确13.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查了
20、线面垂直的判定、二面角的求法、点到平面距离计算等知识利用线面垂直的判定定理、二面角平面角的求法以及点到平面距离计算判定即可【解答】解：如图，由平面图形，可知PBPE，PCPE，又PBPC=P，PE平面PBC，可得PEBC，A对，B错;取BC的中点F，连接PF，EF，则PFBC，EFBC，PFE为二面角P-BC-E的平面角，PE=1，PF=3，EF=2，PFE=30，C对;由C选项知BC平面PFE，平面PFE平面BCE，EF为交线，在平面PFE中作POEF，交EF于O，则PO平面BCE，求得PO=32，点P到平面BCE的距离为32，D错14.【答案】BC【解析】【分析】本题综合考查了余弦定理，三
21、角形的面积公式应用，属于综合试题由已知结合余弦定理及三角形的面积公式分别判断各选项即可【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a+b+c=10，SABC=12bcsin60=34bc=532，解得bc=10，再根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos60，得a2=b2+c2-bc，由解得a=72，C对;b+c=10-a=10-72=132，B对;设BC边上的高为h，则1272h=532，得h=1037，D错;由b+c=132,bc=10,得b=52,c=4或b=4,c=52,可知4为最长边，最长边所对的角最大.设为，cos=(72)2+(52)2-4227252=170，
22、为锐角，此三角形为锐角三角形，A错15.【答案】3i(答案不唯一)【解析】【分析】本题考查复数模的求法，写出满足条件的答案即可。【解答】解：设复数z=a+bi，则a2+(b-1)2=2，满足该关系的a，b都是正确的16.【答案】32.8【解析】【分析】根据这组数据的平均数是4，列出求平均数的公式，解方程做出这组数据中的a，利用求方差的公式求出这组数据的方差【解答】解：由题意知，4+(10-2a)+1+(2+a)+65=4，解得a=3，s2=(4-4)2+(4-4)2+(1-4)2+(5-4)2+(6-4)25=145=2.817.【答案】27【解析】【分析】本题考查了点到平面距离的求法。利用外
23、接圆面积求出外接圆半径，再求出外接圆圆心到球心的距离，即为点O到平面ABC的距离。【解答】解：设ABC外接圆的半径为r，则r2=8，所以r=22，所以点O到平面ABC的距离为62-(22)2=2718.【答案】1【解析】【分析】本题考查向量数量积的运算设DAE为，求出AM的长度，以此表示出AE的长度，进行化简求值即可【解答】解：四边形ABCD为菱形，DAE=BAE，设为.又AE=BE，EAB=EBA=，过点E作EMAB，垂足为M，则AM=1，AE=1cosBF=BC+CF=AD-12AB，AEBF=AE(AD-12AB)=AEAD-12AEAB=1cos2cos-121cos2cos=119.
24、【答案】x|x-212且x67【解析】解：a,b的夹角为锐角，ab0，且a与b不共线，2x+2106-7x0，解得x-212，且x67，x的取值范围为x|x-212且x67.故答案为：x|x-212且x67根据a与b的夹角为锐角即可得出ab0，并且a与b不共线，从而可得出2x+2106-7x0，解出x的范围即可本题考查了向量数量积的坐标运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题20.【答案】解：(1)(a-b)a，(a-b)a=0，a2-ab=0，ab=a2=1，|c|=|a+b|=(a+b)2=a2+2ab+b2=7(2)bc=b(a+b)=ab+b2=1+
25、4=5，cos=bc|b|c|=527=5714【解析】本题考察平面向量的模，夹角与向量垂直的表示。(1)利用向量垂直求出ab的值，再根据c=a+b求出c的模长。(2)先求出bc，再求出b，c夹角的余弦值。21.【答案】解：(1)选方法一：利用正弦定理，可得2sinCcosA-sinA=2sinB，2sinCcosA-sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，得-sinA=2sinAcosC.sinA0，cosC=-120C，C=23方法二：利用余弦定理，可得2cb2+c2-a22bc-a=2b，整理得b2+a2-c2=-ab，cosC=b2+a2-c22ab=-ab2ab=-120C
26、，C=23选由正弦定理可得(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB=0，2sinAcosC+sin(B+C)=0，2sinAcosC+sinA=0，sinA0，cosC=-12，0C，C=23选由正弦定理，可得sinBsinA+4sinBcosCsinA+sinAsinB=0，2sinAsinB+4sinBsinAcosC=0，2sinAsinB(1+2cosC)=0sinA0，sinB0，cosC=-120C，C=23(2)sinA+sinB=sinA+sin(3-A)=sin(A+3).0A3，3A+323，32sin(A+3)1，sinA+sinB的取值范围为(32,1【解析】
27、本题考查利用正余弦定理解三角形与三角恒等变换(1)利用正余弦定理对已知式子进行变形，根据C的取值范围，确定C的角度(2)利用三角恒等变换，将sinA+sinB化简为sin(A+3)，根据角的取值范围，确定sinA+sinB的取值范围22.【答案】解：(1)后三组的频率分别为0.35，0.15，0.03，100名接种者中，等待时间大于60分钟的人数为(0.35+0.15+0.03)100=53(人)(2)由(0.0025+0.006+a+0.0175+0.0075+0.0015)20=1，解得a=0.015所求平均值为100.05+300.12+500.3+700.35+900.15+1100.
28、03=60.4(分钟)【解析】本题考查频率分布直方图及平均值的计算。(1)根据频率分布直方图得到后三组的频率，求得对应人数；(2)根据总频率为1，求得a的值，再求得平均值即可23.【答案】(1)证明：ABC-A1B1C1为三棱柱，A1B1/AB又平面ABC1，AB平面ABC1，A1B1/平面ABC1(2)解：(方法一)在ABC中，AC=BC=1，ACB=120，可求得AB=3，ABC的面积为1211sin120=34ABC-A1B1C1为直三棱柱，CC1平面ABC，CC1AC，从而AC1=BC1=2取AB的中点D，连接C1D，则C1DAB，易得C1D=132ABC1的面积为123132=394
29、设点C到平面ABC1的距离为h，由于，13343=13394h，解得h=3913，点C到平面ABC1的距离为3913(方法二)取AB的中点D，连接CD，C1D，在CDC1中，过点C作CEC1D，垂足为EABC-A1B1C1为直三棱柱，CC1平面ABC，CC1AB又AC=BC，D为AB中点，CDABCC1CD=C，AB平面C1CD又AB平面ABC1，平面C1CD平面ABC1平面C1CD平面ABC1=C1D，CE平面ABC1由题意可知C1C=3，CD=12，C1D=132，可求得CE=312132=3913点C到平面ABC1的距离为3913【解析】本题考查线面平行的判定与点到直线的距离(1)利用线
30、面平行的判定直接证明即可(2)法一利用等体积法求出点到平面的距离；法二利用等面积法，求得CE长度，即为点C到平面ABC1的距离24.【答案】解：(1)记“甲村选择种植农作物A”为事件A，“乙村选择种植农作物A”为事件B，则P(A)=250500=12，P(B)=150500=310(2)甲村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为12，12，乙村选择种植农作物A与种植农作物B的概率估计值分别为310，710随机抽取的4人中有0人选择种植农作物B的概率为P1=1212310310=9400有1人选择种植农作物B的概率为P2=21212310310+12122310710=60400=32
31、0记“至少有2人选择种植农作物B”为事件C，则P(C)=1-P1-P2=1-9400-320=331400(3)记“甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村”为事件D，则P(D)=2515+25(15+25)=825【解析】本题考查概率计算，根据题目给出的数据进行计算(1)考查古典概型，根据数据进行计算即可(2)分别求出有0人与1人种植农作物B的概率，即可求出至少有2人选择种植农作物B的概率(3)甲村农户种植农作物A的亩产量高于乙村包括，甲村亩产900斤，乙村亩产800斤，与甲村亩产1000斤，乙村亩产800或900斤，根据概率求解即可25.【答案】(1)解：PAD为正三角形，N为AD中点，PNA
32、D又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PN平面ABCD又NC平面ABCD，PNNC，DNC为二面角D-PN-C的平面角，tanDNC=2=DCDN又DN=1，DC=2，底面ABCD为正方形又易得PN=3，四棱锥P-ABCD的体积V=13223=433(2)证明：由(1)知，PN平面ABCD，DM平面ABCD，PNDM在正方形ABCD中，易知DAMCDN，ADM=DCN而ADM+MDC=90，DCN+MDC=90，DMCNPNCN=N，DM平面PNCPC平面PNC，DMPC(3)解：设DMCN=O，连接PO，MNDM平面PNC，MPO为直线PM与平面PNC所成的角可求得，DM=5，DO=125=255，MO=5-255=355又MN=2，PM=PN2+MN2=5，sinMPO=MOPM=3555=35，直线PM与平面PNC所成角的正弦值为35【解析】本题考查立体几何的相关知识(1)利用二面角D-PN-C的正切值为2，求得DC长度，继而求得四棱锥体积(2)利用线面垂直的性质证明DM与PC垂直(3)找出直线与平面所成角的平面角，求得夹角的正弦值
