1、以形示数、数形结合湖南省南县一中 陈敬波(413200)(联系电话号码:13170372039;E-mail:hnnxyzjks)一普通高中新课标数学教材A版必修的第86页介绍方程的根与函数的零点知识,有如下结论:结论:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点;并由此很容易得到如下推论:推论:方程有实数根函数的图象与函数有交点函数有零点;二高一学生已经学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数,其中还总结了函数图象的对称与平移知识,于是高一学生有作较丰富多样函数图象的能力。因此我们有必要让学生发挥函数图象的作用,以形示数,数形结合,解决有关方程根的个数问题与
2、含参方程的参数的取值问题及其他应用函数的应用问题。例1、方程的根的个数是( )A 0 B 1 C 2 D 3分析:思路一、构造函数则在内有零点,又在(0,+)上为增函数在定义域(0,+)内仅有一个零点。思路二、令在同一坐标系中作出两个函数与的图象(如图1)由图可知两曲线只有一个公共点,故方程只有一个解。注:在思路一中既要弄出,还要说明在定义域内是单调的,方可得出方程仅有一根。至于函数在整个定义域内不单调,或者不能确定函数的单调性,只能分开讨论解答(见下面的例题2)。思路二中,只要作出两个函数的图象即可。例2、判断方程的根的个数分析:思路一、构造函数,函数在定义域内不单调。时,递增,在(1,+)
3、上有唯一的一个零点。时,恒成立,在上无零点。在(0,+)上,有且仅有一个零点。即方程的解只有一个。思路二、令:在同一坐标系中作出二者的图象(如图2)。由图可知方程只有一个解。注:通过两个实例,发现思路二较思路一要简捷些,思路二可以导出思路一中根所在的区间端点,对于方程中含有参数时,思路一无能为力了,请看下面的例题。例3、若关于x的方程有两个不同的实根,求实数m的取值范围。分析:将方程变形,引入两个函数,在现一坐标系中作出与的图象(如图3)。表示以(-m,0)为端点位于x轴上方的动射线,表示是由幂函数向左平移一个单位得到的图象。当m=1时射线与曲线恰有两交点当射线与曲线相切,即方程只有一个解时,由的结合图形,得:。例4、设a为常数,试讨论方程的实根的个数。分析:思路一、x应满足的条件是:原方程变形为:令在同一坐标系中作出两个函数的图象,(如图4)当方程只有一个实根时,由结合图形,当或时,方程没有实根;当或时方程只有一实根;当时方程有两实根。思路二、原方程等价于令,在同一坐标系内作出两个函数的图象(图5),动直线与曲线交点的个数对应方程解的个数。所以,当或时,方程没有实根;当或时方程只有一实根;当时方程有两实根。注:使用图象法解题时,既要考虑作图的可行性,又要注意问题转化的等价性。