1、2020届全国高三数学模拟考试试题（四）理（含解析）时量：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得集合和或，得到，再结合并集的概念与运算，即可求
2、解.【详解】由题意，集合，又由，即，解得或，即集合或，则所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，以及指数函数与对数的函数的图象与性质的应用，其中解答中结合指数对数函数的性质，正确求解集合是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2. 已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析】根据复数相等则对应系数相等，求得的值，写出的坐标，判断即可.【详解】 ， ，在复平面内对应的点为，在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数相等的条件和复数在复平面内对应的点，属于基础题.3. 据孙子算经记载：“今有方物一
3、束，外周一匝有三十二枚，问积几何？该著作中的一种解决方法为：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.”如图所示是解决此类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）A. 47B. 48C. 79D. 80【答案】C【解析】【分析】按照程序框图输入，逐步执行循环到，即得结果.【详解】按照程序框图：输入，则，执行第一次循环：，执行第一次循环：，执行第一次循环：，执行第一次循环：，跳出循环，故，即输出结果.故选：C.【点睛】本题利用数学文化考查了程序框图中的循环结构，属于基础题.4. 已知为锐角，且，则的值为（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】先利用已知条件得到为锐角
4、，求出其余弦值，再利用二倍角公式求出和，最后利用同角三角函数的基本关系求出正切即可.【详解】由，又，则为锐角，故，则，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值的问题，属于较易题.5. 已知抛物线的焦点为，为此抛物线上三点，若，则为（ ）A. 9B. C. 4D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得是的重心，故，再由抛物线的定义可得【详解】解：抛物线焦点坐标，准线方程：，设，点是重心，则，由抛物线的定义可知：，故选：A【点睛】本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题6. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D.
5、 【答案】A【解析】【分析】先记，化简整理，由函数解析式，判定奇偶性，再判断时，进而可得出结果.【详解】记，则，因此函数是偶函数；故排除BC；当时，因此；排除D；故选：A.【点睛】本题主要考查判定函数图像的识别，熟记函数的性质即可，属于常考题型.7. 九章算术卷五描述：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高丈.”意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈.”若该刍甍的三视图如图所示，其中网格纸上每个小正方形边长均为1丈，则该刍甍的体积（单位：立方丈）为（ ）A. B. 5C. 10D. 20【答案】B【解析】【分析】根据三视图，作出几何体的直观
6、图，再利用柱体、锥体的体积公式即可求解.【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为：.故选：B【点睛】本题考查了根据几何体的三视图求几何体的体积，考查了柱体、锥体的体积公式，需熟记公式，属于基础题.8. 为了解我国古代数学的辉煌成就，学校决定从周髀算经九章算术等10部古代数学专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，已知这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】设事件“所选2部
7、专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A，所以事件“所选2部专著中2部都是魏晋南北朝时期的专著”为事件，因为，所以，故选：D【点睛】本题考查了对立事件概率公式的应用，考查了数学运算能力.9. 某厂家加工甲、乙两种通讯设备零部件，其销售利润分别为10百元/件、15百元/件.甲、乙两种零部件都需要在，两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备1小时，设备3小时；生产一件乙产品需用设备2小时，设备2小时.，两种设备每周可使用时间分别为24小时、36小时，若生产的零部件供不应求，则该企业每周利润的最大值为（ ）A. 150百元B. 195百元C. 240百元D. 300百元【答案】B【解析】【分析
8、】先设该企业每周生产甲乙两种零部件分别为：，件，每周利润为，根据题意，得出约束条件，和目标函数，利用数形结合的方法，即可得出结果.【详解】设该企业每周生产甲乙两种零部件分别为：，件，每周利润为：，则由题意可得：，画出所表示的平面区域如下：因为目标函数可化为，则表示直线在轴的截距，由图像可得，当直线过点时，在轴的截距最大，此时取最大值；由解得：，即，满足；因此.故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.10. 已知曲线按向量平移，得到的曲线经过点，则（ ）A. 函数的最小正周期B. 函数在上单调递减C. 曲线关于直线对称D. 曲线关于点对称【答案】B
9、【解析】【分析】先由向量平移和定点求得的解析式，再根据三角函数的周期性、单调性和对称性对选项逐一判断正误即可.【详解】设上任一点，按向量平移后得上点，则，故，代入得过点，得又，故可取，因此，A选项中，最小正周期，故A选项错误；B选项中，在上，故函数在上单调递减，故B选项正确；C选项中，当，关于点中心对称，故C选项错误；D选项中，当，点不是的对称中心，故D选项错误.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式和代入验证法判断余弦型函数的性质，属于中档题.11. 已知椭圆：，分别为双曲线：的左、右焦点，两曲线，的离心率互为倒数，双曲线渐近线上的点满足且的面积为32，其中为坐标原点，则双曲
10、线的实轴长是（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C【解析】【分析】记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，根据椭圆方程，由题意，求出，得出双曲线渐近线方程为，不妨令点在直线上，设，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果.【详解】记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，因为椭圆方程为，所以， 又两曲线，的离心率互为倒数，所以，所以，因此双曲线的渐近线方程为，不妨令点在直线上，设，则，又，分别为双曲线：的左、右焦点，所以，因此，因为，所以，整理得：，又的面积为32，所以，由解得：，因此，所以双曲线的实轴长是.故选：C.【点睛】本题主要考查求双曲线的实轴长，考查双曲线与椭圆的简单性质，涉及
11、向量垂直的坐标表示，属于常考题型.12. 已知函数，若对于任意，总存在，使成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对于任意，总存在，使得成立，得到函数在，上的值域是在，上值域的子集，然后利用求函数值域的方法求函数、在，上的值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数的取值范围即可【详解】解：当时，即，为增区间，当时，；当时，此时函数递增，则，则的值域为，对于任意，总存在，使得成立，得到函数在，上的值域是在，上值域的子集对讨论，当时，显然不成立；当时，的值域为，由且，即；当时，的值域为，由且，即，综上，的取值范围是：，故选：D.【点睛】本题主要考查了函
12、数恒成立问题，以及分段函数、函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题二、填空题13. 若的展开式中的系数为20，则的值为_.【答案】【解析】【分析】求得二项展开式的通项为，求得的系数，列出方程，即可求解.【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，所以的系数为，令，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，结合题意，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14. 在中，为边上一点，且，则_.【答案】【解析】【分析】先由向量夹角公式，根据题中条件，求出，从而求出，再由正弦定理，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以又为边上一点
13、，所以，因此，所以，在，由正弦定理可得：，即，解得：.故答案为：.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，涉及向量的夹角公式，属于常考题型.15. 给出的下列四个命题中，正确的命题序号为_.从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；设回归直线方程为，当变量每增加一个单位时，平均增加2个单位；已知服从正态分布，且，则；变量与相对应的一组样本数据为，由上述样本数据得到与的线性回归分析，若表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则.【答案】【解析】【分析】根据抽样方法的概念，直接判断，即可得出结果；根据回归直线方程的性质，即可得出结果；根据正态
14、分布的性质，计算概率，即可得出结果；根据在线性回归中，相关指数等于相关系数，计算相关系数，即可得出结果.【详解】对于，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样；故错误；对于，回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，平均增加0.2个单位；故错误；对于，若服从正态分布，且，则，所以，故错误；对于，在线性回归中，相关指数等于相关系数，由题意，则，所以相关指数，故正确；故答案为：【点睛】本题主要考查统计与概率的综合，熟记抽样方法的概念，回归直线的特征，正态分布的性质，以及相关指数的计算公式即可，属于常考题型.16. 定义：设函数在上的导函数为
15、，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凸函数”.已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据题意对函数求二阶导函数，令在区间恒成立，分离参数，解得实数的取值范围即可.【详解】在区间上为“凸函数”在上恒成立上恒成立设，则当且仅当时取得最大值， 故答案为：.【点睛】本题考查了新定义“凸函数”，考查了分离参数法解决恒成立问题和基本不等式，属于中档题.三、解答题（一）必考题：17. 已知函数（）的所有正数的零点构成递增数列（）.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）（）；（2）.【解析
16、】【分析】（1）令可得出（），根据题意确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）求出，然后利用错位相减法可求得.【详解】（1），令，得，所以（），所以（），这就是函数的全部零点，所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，所以（）；（2）因为，所以，则，得：，所以.【点睛】本题考查函数的零点，考查等差数列通项公式的求法，考查错位相减法求和，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.18. 某食品加工厂对生产机器升级改造，现从机器改造前后生产的食品中各抽取100件产品作为样本，检测某项营养成分含量，根据国家食品卫生标准，若该项营养成分含量落在内的食品视为合格品，否则为不合格品.如图所示是
17、机器改造前样本的频率分布直方图；下表是机器改造后样本的频数分布表.营养成分含量频数2184814162（1）请估算食品加工厂在机器升级改造前食品营养成分含量的平均值；（2）工厂质检规定：不合格食品必须全部销毁合格食品分等级销售，营养成分含量落在内的定为一等品，每件售价240元；营养成分含量落在，或内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表中的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买改造后的两件该食品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.【答案】（1）30.
18、2（2）见解析【解析】【分析】（1）由每一组区间的中间值乘以该组的频率再相加，可得平均值（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，随机变量X的取值为240，300，360，42，480，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E（X）【详解】根据图1可知，机器改造前样本的频数分布表如下：营养成分含量频数41640121810估计在机器升级改造前食品营养成分含量的平均值为（417.5+1622.5+4027.5+1232.5+1837.5+1042.5）30.2（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中合
19、格食品有96件，则样本中一、二、三等品的频率分别为，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，随机变量X的取值为240，300，360，420，480，P（X240），P（X300），P（X360），P（X420），P（X480），随机变量X的分布列为：E（X）.【点睛】本题考查平均数、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查频率分布直方图、频率分布表、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19. 如图，在四棱锥中，且，.（1）求证：平面平面；（2）若底面中，在上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由.【答
20、案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）设，连接，由已知条件得为的中点，利用线面垂直的判定定理证明面，又平面，即可得出结论；（2）先利用已知条件证明面，再以为坐标原点，过作垂线即为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间坐标系，写出点坐标，令，求出平面的法向量，利用空间向量求线面所成角即可得出结论.【详解】（1）证明：设，连接，因为，所以为的中点，又，又面，平面，所以平面平面.（2）在中，易得，即，由（1）知， 面；以为坐标原点，过作垂线即为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间坐标系，则，令，设平面的法向量为，取，设直线与平面所成的角为，则，解得，即.【点睛】本题主要考查了线面垂直以及面
21、面垂直的判定定理，考查了利用空间向量解决线面所成角的问题.属于中档题.20. 已知：交轴于，两点，过以为长轴，离心率为的椭圆的左焦点的直线交椭圆于，分别交轴和圆于，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，.求证：为定值；（3）过原点作直线的垂线交直线于点.试探究：当点在圆上运动时（不与，重合），直线与圆是否保持相切？若是，请证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）故直线与圆相切，证明见详解.【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据离心率可得，由，可得椭圆的标准方程.（2）设直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立，求出两根之和、两根之积，再根据向量的坐标运算可得，求出即可证出.（3）设
22、，则，只要证出即可【详解】（1）由，解得，又因为，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为.（2）证明，如图，由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为：，则点，将直线代入椭圆方程可得，设，由，知，故.（3）点在圆上运动时，直线与圆相切，证明：设，则，直线的方程为，即点，即，故直线与圆相切.【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定值问题，此题对计算能力要求比较高，属于难题.21. 已知函数，其中.（1）若方程在（为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数的取值范围；（2）若在上存在一点，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由
23、题意得，令，由题意得只需函数在上有唯一的零点；求导，分当时，当时，当时三种情况分析单调性求零点，即可求出的取值范围；（2）把已知条件转化为在上有解，即函数在上的最小值小于零，求导，分当时，当时，当时三种情况分析单调性求最值，即可求出的取值范围.【详解】（1），即；令，由题意得只需函数在上有唯一的零点；又，其中，当时，恒成立，单调递增，又，则函数在区间上有唯一的零点；当时，恒成立，单调递减，又，则函数在区间上有唯一的零点；当时，当时，单调递减，又，则函数在区间上有唯一的零点；当时，单调递增，则当时符合题意，即，所以，当时，则函数在区间上有唯一的零点；所以实数的取值范围是.（2）在上存在一点，使得
24、关于的不等式成立，等价于在上有解，即函数在上的最小值小于零，当时，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由，可得，故；当时，即时，在上单调递增，所以最小值为，由，可得；当，即时，可得的最小值为，所以不成立，综上：实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数求解零点问题，利用导数求解最值问题，做题的过程中注意对已知条件的转化，考查了学生构造函数的能力以及分类讨论的思想.属于较难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的普通方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐
25、标方程为.（1）求直线的普通方程及曲线的参数方程；（2）过直线上的任意一点向曲线引切线，当切线长最短时，求点的极坐标.【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数）；（2）点的极坐标为：【解析】【分析】根据极角的正切与直线斜率之间关系求直线的普通方程，根据圆心和半径写参数方程即可；判断当时最短，联立两直线方程得到点直角坐标，并转化成极坐标即可.【详解】解：（1）依题意得，直线的普通方程为，曲线的普通方程为，即 曲线的参数方程为（为参数）综上，直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数）；（2）要使切线长最短，则需最短，故当时最短，此时直线的斜率为，直线方程为，即，联立直线方程得故点的极坐标为：.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化以及点坐标的互相转化，考查了普通方程与参数方程的转化，属于常考题.选修45：不等式选讲23. 已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）若，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明过程见详解.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，再由不等式的解集，即可得出结果；（2）根据柯西不等式，由题中条件，即可得出结果.【详解】（1）由题意，不等式可化为，即，所以；又的解集为，所以；（2）由（1）得：，由柯西不等式可得：，当且仅当时，等号成立；因此.【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，考查由柯西不等式证明不等式，属于常考题型.
