1、6.3 解析几何的综合问题考点核心整合 解析几何考查的重点是圆锥曲线，在历年的高考中，占解析几何总分值的四分之三以上.解析几何的综合问题也主要以圆锥曲线为载体，通常从以下几个方面进行考查： 位置问题.直线与圆锥曲线的位置关系问题，是解析几何研究的重点内容.常涉及直线与曲线交点的判断、弦长、面积、对称、共线等问题.其解法是充分利用方程思想以及韦达定理. 最值问题.最值问题是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容.其解法是设变量、建立目标函数、转化为求函数的最值. 范围问题.范围问题主要是根据条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参数的取值范围.其解法主要有运用圆锥曲线上点的坐
2、标的取值范围，运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知识. 以上这些问题由于综合性较强，所以备受命题者的青睐.常用来综合考查学生在数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理等多方面的能力.考题名师诠释【例1】若双曲线-y2=1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的,则m=( )A. B. C. D.解析：到准线的距离是到左焦点距离的，e=3,即=3,m=.答案：C【例2】已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线左支上的一点，P到左准线的距离为d.(1)若双曲线的一条渐近线是y=x,问是否存在点P使d,PF1,PF2成等比数列？若存在，求出P点坐标，若不存在，
3、说明理由；(2)在已知双曲线的左支上使d,PF1,PF2成等比数列的点P存在时，求离心率e的取值范围.解：(1)法一：由y=x是渐近线，得=,c2=a2+b2=4a2,e=2, 设P点的坐标为(x0,y0),由双曲线的第二定义，得PF1=ed=2d,PF2=e(-x0),d=-x0,e2d2=de(-x0), 化简得2(-x0)=-x0 解得x0=-a,点P存在.法二：同解法一得,PF1=ed=2d,PF2=2a+PF1=2a+2d, 又PF12=dPF2，有4d2=d(2a+2d)解得d=a, 又dmin=-(-a)=a-=a-=,d=a,存在点P，使d,PF1,PF2成等比数列.(2)法一
4、：由(1)得d=-x0,PF12=dPF2有e2d2=de(-x0),ed=-x0 即e(-x0)=(-x0),解得x0=-a,1e1+.法二：由=e,可得PF2=ePF1, 又PF2-PF1=2a,PF1=,PF2=.PF1+PF2F1F2,而F1F2=2c=2ea,2ea, 又a0,e1,e2-2e-10，解得1e1+.法三：由(1)得e2d2=d(2a+ed). 解得d=dmin=-+a,有e2-2e-10，解得1e1+.点评：确定某几何量的值域或取值范围，一般需要建立起方程或不等式，因此，要树立用方程和不等式的解题思路.与圆锥曲线有关的参数范围问题的讨论常用的两种方法：不等式(组)求解
5、法；函数值域求解法. 本题要注意双曲线的离心率e1,否则所得答案就不完整.【例3】已知动点P与双曲线-=1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值2a(a)，且cosF1PF2的最小值为-.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上，且=，求实数的取值范围.解：(1)由题意知c2=5, 设|PF1|+|PF2|=2a(a)，由余弦定理得cosF1PF2=-1. 又|PF1|PF2|()2=a2, 当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|PF2|取最大值，此时cosF1PF2取最小值-1, 令-1=-a2=9.c=,b2=4. 故所求点P的轨迹方程为+=1.(2)
6、设N(s,t)、M(x,y)，则由=，可得(x,y-3)=(s,t-3)，故x=s,y=3+(t-3),M、N在动点P的轨迹上.故=1且=1. 消去s得=1-2, 解得t=.又|t|2,|2.解得5. 故的取值范围是，5.评述：本题考查了解析几何的基本方法以及解析几何与三角、不等式、向量的联系，是在知识的交汇点处命题的充分体现，体现了高考命题的方向.【例4】设P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)(n3,nN)是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,an=|OPn|2构成了一个公差为d(d0)的等差数列，其中O是坐标原点，记Sn=a1+a2+an.(1
7、)若C的方程为=1,n=3,点P1(10，0)且S3=255，求点P3的坐标；(只需写出一个)(2)若C的方程为+=1(ab0)，点P1(a,0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值.(1)解：a1=|OP1|2=100, 由S3=(a1+a3)=255,得a3=|OP3|2=70. 由解得点P3的坐标为(2，).(2)解法一：原点O到二次曲线C:+=1(ab0)上各点的最小距离为b，最大距离为a.a1=|OP1|2=a2,d0，且an=|OPn|2=a2+(n-1)db2.d0.n3,0,Sn=na2+d在,0上递增. 故Sn的最小值为na2+=.解法二：对每个自然数k(2k
8、n), 由 解得yk2=.0yk2b2,得d0,d0. 以下与解法一相同.评述：本题主要考查了解析几何、数列、函数、不等式等基本知识，具有一定的综合性，是考查学生良好的数学思维和分析问题、解决问题能力的一道好题.链接拓展 请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上一点P1，对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1,P2,Pn存在的充要条件，并说明理由.解法一:若双曲线C:-=1，点P1(a,0),则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的充要条件是d0.原点O到双曲线C上各点的距离h|a|,+)，且|OP1|2=a2,点P1，P2，Pn存在当且仅当|OPn|2|OP1|2，即d0存在.解法二:若抛物线C:y2=2px,点P1(0,0)，则对于给定的n，点P1，P2，,Pn存在的充要条件是d0.理由同上.解法三:若圆C:(x-a)2+y2=a2(a0),点P1(0，0)，则对于给定的n,点P1，P2，Pn存在的充要条件是0d.
