1、亳州市2013届高三摸底考试试卷数学（理科）答案一、选择题：题号12345678910答案DBBADCBABC二、填空题112 12.1 13. 14. 6 15. 三、解答题16（1） 的单调递增区间为 （2） 17.解:(1) 3名学生选择的选修课互不相同的概率: ;(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为,则,.所以的分布列为0123(1)数学期望18.（1）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，可得ABC为正三角形.因为 E为BC的中点，所以AEBC. 又 BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.因为PAAD=A，所以 AE平面PAD，又P
2、D平面PAD.所以 AEPD.（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（1）知 AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 当AH最短时，EHA最大，即 当AHPD时，EHA最大.此时 tanEHA= （第18题图）因此 AH=.又AD=2，所以ADH=45，所以 PA=2.解法一：因为 PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC平面ABCD. 过E作EOAC于O，则EO平面PAC， 过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AEsin30=，AO=AEcos30=, 又F是P
3、C的中点，在RtASO中，SO=AOsin45=, 又 在RtESO中，cosESO= 即所求二面角的余弦值为解法二：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以 设平面AEF的一法向量为,则因此取,则因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cosm, =因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的
4、余弦值为19解：（1）设数列的公比为，由得所以由条件可知故由得所以故数列的通项公式为：；（2）又由得：当时， 即数列为等差数列，且公差又， 由得， -得： 20（本小题满分13分）解：（1） 由已知，解得. （2）函数的定义域为.当时, ，的单调递增区间为； 当时. 当变化时，的变化情况如下：-+极小值 由上表可知，函数的单调递减区间是； 单调递增区间是. （3）由得， 由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立. 即在上恒成立. 令，在上，所以在为减函数. , 所以. 21（本小题满分13分）（1）解：由 ， 得 . 因为，所以是等腰直角三角形，所以，. 所以椭圆的方程是. （2）解：设，直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 . 所以 ，. 若平分，则直线，的倾斜角互补，所以. 设，则有 .将 ，代入上式，整理得 ，所以 . 将 ，代入上式，整理得 . 由于上式对任意实数都成立，所以 . 综上，存在定点，使平分.
