1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养提升练 二十七平面向量的数量积及应用举例(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则ab为()A.12B.8C.-8D.2【解析】选A.因为|a|cos=4,|b|=3,所以ab=|a|b|cos=34=12.2.如图,在圆C中,点A,B在圆上,则的值()A.只与圆C的半径有关B.既与圆C的半径有关,又与弦AB的长度有关C.只与弦AB的长度有关D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【解析】
2、选C.如图,过圆心C作CDAB,垂足为D,则=|cosCAB=|2.所以的值只与弦AB的长度有关.3.在ABC中,若|2=+,则ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形【解析】选D.依题意得|2=(+)+=|2+,所以=0,ABC是直角三角形.【变式备选】已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k=()A.-3B.-2C.1D.-1【解析】选A.因为a+2b与c垂直,所以(a+2b)c=0,即ac+2bc=0,所以k+2=0,解得k=-3.4.已知ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=,=(1-),R,若=-,则=()A.B
3、.C.D.【解析】选A.因为=-,所以-=-|2-|2+=-4-4+2=-22+2-2,解得=.【一题多解】选A.如图,建立平面直角坐标系,设A(-1,0),B(1,0),C(0,),另设P(x1,0),Q(x2,y2),由=,得x1=2-1,由=(1-),得x2=-;y2=(1-),于是=(-1,(1-),=(2-1,-),由=-得:(-1)(2-1)-3(1-)=-,解得=.【变式备选】已知非零向量a,b的夹角为,且|b|=1,|b-2a|=1,则|a|=()A.B.1C.D.2【解析】选A.依题意得(b-2a)2=1,即b2+4a2-4ab=1,1+4|a|2-2|a|=1, 4|a|2
4、-2|a|=0(|a|0),因此|a|=.5.(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1【解析】选B.取BC的中点D,以BC为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),(+)=2x2-2y(-y)=2x2+2-,当P时,(+)取得最小值,最小值为-.【变式备选】已知平面向量a,b的夹角为120,且ab=-1,则|a-b|的最小值为()A.B.C.D
5、.1【解析】选A.由题意可知-1=ab=|a|b|cos 120,所以2=|a|b|,即|a|2+|b|24,当且仅当|a|=|b|时等号成立,|a-b|2=a2-2ab+b2=a2+b2+24+2=6,所以|a-b|,所以|a-b|的最小值为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为_.【解析】因为m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),所以由(m+n)(m-n)得(m+n)(m-n)=0,即(2+3)(-1)+3(-1)=0,解得=-3,则m=(-2,1),n=(-1,2),所以cos=.
6、答案:7.(2019济南模拟)已知A(-1,cos ),B(sin ,1),若|+|=|-|(O为坐标原点),则锐角=_.【解析】利用几何意义求解:由已知可得,+是以OA,OB为邻边所作平行四边形OADB的对角线向量,-则是对角线向量,由对角线相等的平行四边形为矩形.知OAOB.因此=0,所以锐角=.答案:【一题多解】坐标法:+=(sin -1,cos +1),-=(-sin -1,cos -1),由|+|=|-|可得(sin -1)2+(cos +1)2=(-sin -1)2+(cos -1)2,整理得sin =cos ,于是锐角=.答案:8.如图,菱形ABCD的边长为2,BAD=60,M为
7、DC的中点,若N为菱形内任意一点(含边界),则的最大值为_.【解析】由平面向量的数量积的几何意义知,等于|与在方向上的投影之积,所以()max=(+)=|2+|2+=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知向量a=,b=(cos x,-1).(1)当ab时,求2cos2x-sin 2x的值.(2)求f(x)=(a+b)b在上的值域.【解析】(1)因为ab,所以cos x+sin x=0,所以tan x=-,2cos2x-sin 2x=.(2)因为a+b=.f(x)=(a+b)b=sin.因为-x0,所以-2x+,所以-1sin,所以-f(x),所以函数f(x)的值域为.10.已
8、知向量a1=(1,-7),d=(1,1),对任意nN*都有an+1=an+d.(1)求|an|的最小值.(2)求正整数m,n,使aman.【解析】(1)设an=(xn,yn),由an+1=an+d得所以xn,yn都是公差为1的等差数列.因为a1=(1,-7),所以xn=n,yn=n-8,an=(n,n-8),|an|=4,|an|的最小值为4.(2)由(1)可知an=(n,n-8),am=(m,m-8),由已知aman得:aman=0,mn+(m-8)(n-8)=0,(m-4)(n-4)=-16因为m,nN+,所以或或或【变式备选】一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A处出发到河
9、对岸.已知船的速度|v1|=10 km/h,水流速度|v2|=2 km/h.要使船行驶的时间最短,那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论:当船逆流行驶,与水流成钝角时;当船顺流行驶,与水流成锐角时;当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况,并判断是否当船垂直于对岸行驶时,与水流成直角时,所用时间最短【解析】设v1与v2的夹角为,合速度为v,v2与v的夹角为,行驶距离为d,则sin =所以当=90,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.(20分钟40分)1.(5分)已知菱形ABCD的边长为6,ABD=30,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=
10、CF.若=-9,则的值为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.依题意得=+=-,=+,因此=-+,于是有62+62cos 60=-9,由此解得=3.2.(5分)(2018宜春模拟)已知向量与的夹角为,|=2,|=1,=t,=(1-t),|在t0时取最小值,当0t0时,cos 的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选D.建立如图所示的平面直角坐标系,则由题意有:A(2,0),B(cos ,sin ),由向量关系可得:=t=(2t,0),=(1-t)=(1-t)cos ,(1-t)sin ),则:|=|-|=,整理可得:|=,满足题意时:t0=-=-,据此可得三角不等式:0-,解得:-cos
11、 ,即cos 的取值范围是.3.(5分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=,I2=,I3=,则()A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3【解析】选C.根据题意,I1-I2=-=(-)=|cosAOB0,所以I1I3,作AGBD于G,又因为AB=AD,所以OBBG=GDOD,同理作BFAC于F,而OAAF=FCOC,所以|,而cosAOB=cosCOD,即I1I3,所以I3I10,所以nm.从而DBC45,又因为BCO=45,所以BOC为锐角.从而AOB为钝角.故I10,I30.又因为OAOC,OB1),
12、=-2(21),从而I3=12=12I1,又因为121,I10,I30,所以I3I1,所以I3I1I2.【变式备选】已知圆O的半径为1,A,B是圆上的两点,且AOB=,MN是圆O的任意一条直径,若点C满足=+(1-) (R),则的最小值为_.【解析】由题意可得=(+)(+)=+(+)+,因为MN是圆O的任意一条直径,所以+=0,=-1,所以=+0-1=-1.要求的最小值问题就是求的最小值,因为=+(1-)(R),所以点C在直线AB上,则当C在AB中点时,OCAB,OC最小为等边三角形AOB的高线为,此时=,故的最小值为-1=-.答案:-4.(12分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,
13、0)和点B(-1,0),|=1,且AOC=x,其中O为坐标原点.(1)若x=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值.(2)若x,向量m=,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求mn的最小值及对应的x值.【解析】(1)设D(t,0)(0t1),当x=时,可得C,所以+=,所以|+|2=+(0t1),所以当t=时,|+|2取得最小值为,故|+|的最小值为.(2)由题意得C(cos x,sin x),m=(cos x+1,sin x),则mn=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-sin.因为x,所以2x+.所以当2x+=,即x=
14、时,mn=1-sin取得最小值1-,所以mn的最小值为1-,此时x=.5.(13分)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值.(2)设=,且a(b+c),求cos 的值.【解析】(1)b+c=(cos -1,sin ),则|b+c|2=(cos -1)2+sin2=2(1-cos ).因为-1cos 1,所以0|b+c|24,即0|b+c|2.当cos =-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值为2.(2)若=,则a=.又由b=(cos ,sin ),c=(-1,0)得a(b+c)=(cos -1,sin )=cos +sin -.因为a(b+c),所以a(b+c)=0,即cos +sin =1,所以sin =1-cos ,平方后化简得cos (cos -1)=0,解得cos =0或cos =1.经检验cos =0或cos =1即为所求.【方法技巧】涉及三角问题求解方法:去除向量的包装外衣,转化为形如:y=Asin(x+)+k,但一定要关注自变量x的取值范围.另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式,处理的结果之一就是转化为形如:y=Asin(x+),这一点很重要.关闭Word文档返回原板块
