1、第5课时两角和与差的正切(2) 教学过程一、 问题情境已知tan=2,则tan=.二、 数学建构活动解决问题情境中的问题.解tan=2,解得tan=.问题1本题条件中的角与结论中的角分别是什么?条件中的角是+,结论中的角是.问题2在即时体验2中,我们是如何求cos的?先用条件中的角表示结论中的角,即=-,再用两角差的余弦公式求解.问题3本题还有其他解法吗?tan=tan+-=.三、 数学运用【例1】已知tan=2, tan=3,求tan(+)的值.(见学生用书P69)处理建议先由学生自己分析解题思路,可能的思路有两个:一是由tan=2求出tan,由tan=3求出tan,然后再求tan(+);二
2、是由-=+,先求出tan,而后再求tan(+).再引导学生比较两种方法的繁简程度.规范板书解 tan+=tan+-=, tan(+)=tan=.题后反思在三角函数“给式求值”问题中,要注意已知角与所求角之间的关系.【例2】证明:tanx-tan=.(见学生用书P69)处理建议用问题:“本题中涉及几个角?它们有什么关系?”引导学生寻找角与角之间的关系.规范板书证明右边=tan-tan=左边.变式已知sin(2+)=5sin,求证:3tan=2tan(+).规范板书证明由题可知sin(+)+=5sin,则sin(+)cos+cos(+)sin=5,化简得4sin(+)cos=6cos(+)sin,
3、两边同除以cos cos(+)得3tan=2tan(+).【例3】求tan23+tan37+tan23tan37的值.(见学生用书P70)处理建议引导学生由式中含有两角正切值的和与积,联想到两角和差的正切公式.规范板书解原式=tan(23+37)(1-tan23tan37)+tan23tan37=.题后反思 当题中出现两角正切值的和(差)与积时,要联想到两角和(差)的正切公式的变形:tan+tan=tan(+)(1-tantan), tan-tan=tan(-)(1+tantan).变式(教材第116页例4)在斜三角形ABC中,求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.处理
4、建议引导学生分析式子的结构,发现式子中含正切值的和与积.规范板书证明在斜三角形ABC中,有A+B+C=,即A+B=-C,且A, B, A+B,所以左边=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(-C)(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC=右边.题后反思一般地,当角A, B, C满足什么条件时,能使等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立?(一般地,当A+B+C=k, kZ时,此结论成立)【例4】(教材第116页例5)如图(1),两座建筑物AB, CD的高度分别为9m和15m,从建筑物 AB的顶部A看建筑物 CD的张角CAD=45,
5、求建筑物AB与CD的底部之间的距离BD.(见学生用书P70)(例4(1)(例4(2)处理建议引导学生通过作 CD的垂线 AE,将中涉及到的量转移到两个直角三角形中.规范板书解如图(2),作AECD于E.因为ABCD, AB=9, CD=15,所以DE=9, EC=6.设AE=x, CAE=.因为CAD=45,所以DAE=45-.在RtAEC和RtAED中,有tan=,tan(45-)=.因为tan(45-)=,所以=,解得x=18, x=-3(舍去).答:建筑物 AB与 CD的底部之间的距离 BD为18m.四、 课堂练习 1. 已知tan(-)=, tan=, 则tan=.提示tan+=tan(-)+=. 2. 计算:=.提示原式=.(第3题) 3. 如图,在矩形ABCD中,AB=a, BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tanAPD的值.解由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=a,故CP=a.设APB=, DPC=,则tan=, tan=,所以tan(+)=-18,所以tanAPD=tan(-)=-tan(+)=18.五、 课堂小结 1. 三角变换时,要注意角与角的关系,学会“执果索因”. 2. 当条件中出现两角正切值的和(差)时,会用两角和(差)的正切公式的变形解题.
