1、2017 届高三第二学期期初六校联考数学试卷注意事项:1本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分 160 分，考试时间为 120 分钟.2.答题前，请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.3.答题时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中 S 是圆柱的底面积，h 为高.圆锥的体积公式：V圆锥=13Sh，其中 S 是圆锥的底面积，h 为高.一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上
2、.1.已知集合2,0,1,7A，|7,By yx xA，则 AB 2.已知复数3izi(i 为虚数单位)，则 z z 3.一组数据共 40 个，分为 6 组，第 1 组到第 4 组的频数分别为 10，5，7，6，第 5 组的频率为 0.1，则第 6 组的频数为 4.阅读下列程序，输出的结果为 0S 1103For I fromtostep SSI End for Print S 5.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 6.已知函数()2cos()3f xx，,2 3x，则()f x 的值域是 7.已知函数ln(4)yx的定义域为
3、A，集合|Bx xa，若 xA是 xB的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围为 8.已知实数 x、y 满足2035000 xyxyxy ，则2zxy的最大值为 9.在 ABC 中，若 tantan1AB ，则sin()3C 10.若直线 yx 与函数242()yxxxm的图象恰有一个公共点，则实数 m 的取值范围为 11.已知函数3()f xxx，对于等差数列na满足：2(1)2f a，2016(3)2f a ，nS 是其前 n项和，则2017S 12.在 ABC 中，已知8AB，6AC，点O 为三角形的外心，则 BC OA 13.圆222:C xyr，点(3,0)A，(0,4)B，若点 P
4、 为线段 AB 上的任意点，在圆C 上均存在两点 M、N，使得 PMMN，则半径 r 的取值范围 14.已知正实数,a b 满足 12122ab bba a，则ab 的最大值为 二、解答题：本大题共 6 小题,满分 90 分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以Ox 轴为始边，作两个角，它们终边分别经过点,P Q，其中21(,cos)2P，2(sin,1)Q，R，且4sin5.（1）求 cos2 的值；（2）求 tan()的值 16（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为矩形，ABBP，M 为
5、AC 的中点，N 为 PD 上一点.（1）若 MN平面 ABP，求证：N 为 PD 的中点；（2）若平面 ABP平面 APC，求证：PC平面 ABP.ABCDPMNyOF17.（本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦距为 2，过右焦点 F的直线 l 交椭圆于 AB、两点，当l 与 x 轴垂直时，AB 长为 4 33（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上存在一点 P，使得OPOAOB，求直线l 的斜率.18.（本小题满分 16 分）某工厂要生产体积为定值 V 的漏斗，现选择半径为 R 的圆形马口铁皮，截取如图所示的扇形，焊制成漏斗（1）
6、若漏斗的半径为 32 R，求圆形铁皮的半径 R；（2）这张圆形铁皮的半径 R 至少是多少？19.（本小题满分 16 分）已知函数|ln|)(xxf，()(1)g xk x(R)k。（第 17 题图）BAx R R（第 18 题图）（1）若两个实数ba,满足0ab，且()()f af b，求 4ab的取值范围；（2）证明：当1k 时，存在01x ，使得对任意的0(1,)xx，恒有()()f xg x；（3）已知0ab，证明：存在),(0bax，使得01lnlnxabab.20（本小题满分 16 分）设三个各项均为正整数的无穷数列na，nb，nc.记数列 nb，nc的前 n 项和分别为nS，nT，
7、若对任意的*Nn，都有nnnabc，且nnST，则称数列na为可拆分数列.（1）若4nna，且数列 nb，nc均是公比不为 1 的等比数列，求证：数列na为可拆分数列；（2）若5,nan且数列 nb，nc均是公差不为 0 的等差数列，求所有满足条件的数列 nb，nc的通项公式；（3）若数列na，nb，nc均是公比不为 1 的等比数列，且13a，求证：数列na为可拆分数列.2017 届高三第二学期期初六校联考数学附加题注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在答题卡的规定位置本试卷第 21题为选答题，第 22，23 题为必答题
8、每小题 10 分，共 40 分考试用时 30 分钟2第 21 题有 4 个小题供选做，考生在 4 个选做题中选答 2 题，并在答题卡上把对应的方框用 2B 铅笔涂黑，如不涂，则该题按零分计算，如多涂，则按所涂题中的前 2 题计分3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚本卷考试结束后，上交答题卡4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠S笔21【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题 10
9、分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图，O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P，E 为O 上一点，AEAC，DE 交 AB 于点 F，求证：PDFPOC.B选修 42：矩阵与变换已知矩阵 M2 01 1，求矩阵 M 的特征值及其相应的特征向量C选修 44：坐标系与参数方程已知直线 l 的极坐标方程为 sin(3)3，曲线 C 的参数方程为x2cos，y2sin，设 P 点是曲线 C上的任意一点，求 P 到直线 l 的距离的最大值D选修 45：不等式选讲设 a、b、c、d 都是正数，且 x a2b2，
10、y c2d2.求证：xy acbdadbc.【必做题】第 22 题、第 23 题每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）如图，在四棱锥 SABCD中，已知 SD 底面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角梯形，2DABADC,2,1SDDCADAB,E 为棱 SB 上的一点，且 DE SC.（）求 SEEB 的值；（）求直线 EC 与平面 ADE 所成角.DBCAE 23（本小题满分 10 分）已知实数数列na满足：13a，12(2)3nnnaan，2n.证明：当2n时，na是单调减数列.2016-2017 学
11、年高三数学第二学期期初六校联测卷评分标准一、填空题（每小题 5 分）题号 答案 考查知识内容 方法与技能 10,7 集合的运算 运算与概念 2 14 复数的运算，复数的概念 运算与概念 3 8 频率分布表 计算与概念 4 22 伪代码 运算 5 14 古典概型 枚举与计算 6 1,2 三角函数的单调性和值域 运算 7 4a 函数的性质、逻辑 数形结合 8 4 线性规划 数形结合与运算 9 12 三角恒等变换 变形、转化 10 12m 函数与方程 转化、计算、数形结合 11 4034 函数的性质和等差数列的性质 运算 12 14 向量的数量积 运算 13 4 12,)3 5 圆的综合 数形结合、
12、运算 14 2 223 齐次化思想、基本不等式求最值 化归、换元、运算 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15.解：（1）由244cossin51cos4得：2221cos,sin33 4 分所以：221cos2cossin3 7 分（2）由31sin 2，32cos2，则1 21(,),(,1)2 33PQ故4tan,tan33 10 分因此tantan1tan()1tantan3 14 分【说明】本题是原创题，考查任意角三角函数的定义；考查和角公式；考查学生的字母符号处理能力、运算能力、书写表达能力.16.（1）连接 BD，由四边形 ABCD 为矩形得：M 为 AC 和 BD的
13、中点，MN平面 ABP，MN平面 BPD，平面 BPD平面 ABPBP，MNBP，4 分M 为 AC 的中点，N 为 PD 的中点.6 分（2）在ABP 中，过点 B 作 BEAP 于 E，平面 ABP平面 APC，平面 ABP平面 APCAP，BE平面 ABP，BEAPBE平面 APC，9 分又 PC平面 APC，BEPC.ABCD 为矩形，ABBC，又 ABBP，BCBPB，BC，BP 平面 BPC，AB平面 BPC，12 分ABPC又 BEPC，AB平面 ABP，BE平面 ABP，ABBEB，PC平面 ABP14 分 【说明】本题是源于课本，考查线面平行的性质、线面垂直的判定、面面垂直的
14、判定；考查空间想象能力和识图能力，考查规范化书写表达能力.17.解：(1)由题意可知1c ，当 l 与 x 轴垂直时，22bABa 4 332 分 因为222,abc所以3a，22b 故椭圆的标准方程是：22132xy.4 分(2)设直线l 的斜率为 k，则直线 l 的方程：(1)yk x，设点11(,)A x y,22(,)B xy，33(,)P xy.由221,32(1),xyyk x可得2222(32)6360.kxk xk 6 分 则2122632kxxk，21223632kx xk.（*）因 OPOAOB，则312312xxxyyy，代入椭圆方程有 221212()()132xxyy
15、，又2211132xy，2222132xy，化简得12122330 x xy y，即2221212(32)3()330kx xkxxk，10 分将（*）代入得22222363633032kkkkk，22k，即2k .故直线 l 的斜率为2.14 分【说明】本题原创题.主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与椭圆等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.18.解：(1)漏斗高 hR2(32 R)212R，2 分则体积 V13(32 R)2h，所以 R23 V6 分(2)设漏斗底面半径为 r(r0)，V13r2 R2r2，R9V22r4r2，9 分令 f(r)9V22r4r2(r0)，则
16、 f(r)36V22r5 2r22r636V22r5所以 f(r)在(0，6 18V22)上单调减，(6 18V22，)单调增，12 分所以当 r6 18V22 时，R 取最小值为3 9 3V2.15 分答：这张圆形铁皮的半径 R 至少为3 9 3V2.16 分【说明】第二问用三元基本不等式也给相应分数.本题是改编题.考查几何中的最值、函数中的最值的求法；考查函数思想；考查阅读理解能力、数学建模的能力、运算能力和叙述表达能力.19.解：(1)由0ab，且()()f af b得1(1)abb.1 分 故有44,1abb bb,2 分 易知函数4ybb在(1,)上单调递减，而1b 时3y；b 时，
17、y ，所以，4ab的取值范围是(,3)4 分（2）令，(1,)x则有11()kxG xkxx，(1,)x，5 分当时，故在(1,)上单调递增，故任意正实数均满足题意.7 分当时，令，得11xk 取01xk，对任意，有，从而在上单调递增，所以，即9 分综上，当时，总存在，使得对任意，恒有10 分（3）记1lnln()bah xxba，要证 存在),(0bax，使得01lnlnxabab，即证 函数()h x 在(,)a b 上存在零点 因()h x 在(0,)上单调递减，故只需证()0h a 且()0h b，即证 1lnln1babbaa 12 分下证：当0ab时，式成立 记()ln1M xxx
18、，0 x，由11()1,0 xMxxxx，可得()M x 在(0,1)上单调增，(1,)上单调减，13 分 由0ab，得1ab，01ba，从而有()(1)affb且()(1)bffa，即有ln10aabb 且ln10bbaa，化简得lnlnbabababa15 分 又0ba，故有 1lnln1babbaa成立 16 分【说明】本题原创，考查用导数研究函数的单调性，函数与方程等基础知识,考查了分类讨论、划归思想；考查运算变形能力.20.解：（1）由11144 43 44,nnnnna令113 4,4nnnnbc.则4141,3nnnnST.所以,对任意的*Nn，都有nnnabc，且nnST 3
19、分（2）设数列 nb，nc的公差分别为12,.d d由5,nan得1112121112(1)(1)()5bndcndddnbcddn对任意的*Nn都成立.所以12111250ddbcdd，即121155ddbc 5 分由nnST，得1112(1)(1)22n nn nnbdncd，则2121211()()02222ddddnbcn.由0n，得121211()()02222ddddnbc对任意的*Nn成立.则12022dd且121211()()02222ddddbc即12dd且11bc由数列 nb，nc各项均为正整数，则1112,b c d d 均为正整数 当12dd时，由125dd，得1252
20、ddN 不符；所以12dd 7 分 由，得12114,14,1ddbc或12114,13,2ddbc或12113,24,1ddbc或12113,23,2ddbc所以4nnbncn或411nnbncn或3121nnbncn或32nnbncn.9 分（3）设11,nnaa q 1,0,1.aNqq下面证明：,2.qNq当 q 为无理数时，21aa q为无理数，与naN 矛盾.故 q 为有理数，设(,bqa ba为正整数，且,a b 互素）.11 分此时111nnnbaaa.则对任意的*Nn，1na 均为1a 的约数，则11na ，即1a ，故*Nbqba，所以,2.qNq14 分所以11111(1
21、),nnnnaa qaqq令111(1),nnnnbaqcq则 nb，nc各项均为正整数.因为13a ,所以1121,a 则nnST所以,数列na为可拆分数列.16 分【说明】本题是改编题，此题为新定义题，考查阅读理解能力；考查一般与特殊思想、转化与化归思想；考查运算能力；考查分析探究推理能力.高 三 数 学（理科附加题）答案 2016 年 2 月 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在答题卡的规定位置本试卷第 21题为选答题，第 22，23 题为必答题每小题 10 分，共 40 分考试用时 30 分钟 2第 21 题
22、有 4 个小题供选做，考生在 4 个选做题中选答 2 题，并在答题卡上把对应的方框用 2B 铅笔涂黑，如不涂，则该题按零分计算，如多涂，则按所涂题中的前 2 题计分 3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚本卷考试结束后，上交答题卡 4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 5请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 21【选做题】在 A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
23、字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲证明：AEAC，CDEAOC，3 分 又CDEPPFD，AOCPOCP，从而PFDOCP.8 分 在PDF 与POC 中，PP，PFDOCP，故PDFPOC.10 分 B选修 42：矩阵与变换解：矩阵 M 的特征多项式为 f()2 01 1 232，2 分 令 f()0，解得 11，22.(4 分)将 11 代入二元一次方程组2x0y0，x1y0，解得 x0，6 分 所以矩阵 M 属于特征值 1 的一个特征向量为01；8 分 同理，矩阵 M 属于特征值 2 的一个特征向量为11.10 分 C选修 44：坐标系与参数方程解：由 sin(3)3，
24、得(12sin 32 cos)3，y 3x6，即 3xy60.3 分 由x2cos，y2sin，得 x2y24，6 分 圆心到直线 l 的距离 d623.8 分 P 到直线 l 的距离的最大值为 dr5.10 分 D选修 45：不等式选讲证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2(adbc)20，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.又 a、b、c、d 均为正数，a2b2 c2d2acbd0，同理 a2b2 c2d2adbc0，6 分 得：(a2b2)(c2d2)(acbd)(adbc)0，a2b2c2d2 acbdadbc，即 xy acbdadbc.10 分 【必做题】第 22 题、第
25、 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）解：以DA,DC,DS 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则各点的坐标为1,0,0A，B 1,1,0，C 0,2,0，0,0,2S 1 分（）(0,2,2)SC，(1,1,2)SB，令 SESB，则(,2)SE，(0,0,2)(,2)(,22)DEDSSE ，因 DE SC，则0DE SC，即 22(22)0，故23.所以2SEEB.5 分（）由（）知，2 2 2(,)3 3 3DE，2 42(,)3 33EC 设 n(,)x y z为平面 A
26、DE 的法向量，则nAD，nDE，即0,0,xyz，不妨令1y ，可得 n(0,1,1)为平面 ADE 的法向量，7 分 于是 cos n,2322 623BCECBCnn.9 分 所以直线 EC 与平面 ADE 所成角为 3.10 分 23（本小题满分 10 分）证明：当1n 时，有132(3)21(3)3(1)3(1)3(1)nnnnnnaaannannn.2 分下面有数学归纳法证明：31nan（*2,Nnn）（1）当2n 时，24103(32)1632a ；4 分（2）假设(2)nk k时，结论成立，即31kak；那么，133333(2)(12)113(1)3(1)1kkkkaakkkkk .故由（1）（2）知，31nan.8 分因此，当*2,Nnn，12(3)03(1)nnnaannan，即当2n 时，na是单调减数列.10 分
