1、直接证明与间接证明、数学归纳法考试要求1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的证明方法2间接证明反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的
2、条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法3数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立上述证明方法叫做数学归纳法一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(3)分析法是从要证明的结论出发
3、，逐步寻找使结论成立的充要条件()(4)用反证法证明结论“ab”时，应假设“aQ BPQCPQ，只需P2Q2，即2a1322a132，只需a213a42a213a40.因为4240成立，所以PQ成立故选A4已知数列an满足an1anan1，nN*，且a12，则a2 ，a3 ，a4 ，猜想an .345n1易得a23，a34，a45，故猜想ann1. 考点一综合法的应用 掌握综合法证明问题的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻
4、辑依据是三段论式的演绎推理典例1设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，得a2b2c2abbcca，由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为a，b，c均为正数，b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，所以1.母题变迁本例的条件不变，证明a2b2c2.证明因为abc1，所以1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac，因为2aba2b2,2bcb2c2,2aca2c2，所以2ab2bc2ac2(a2b2c2)，所以1
5、a2b2c22(a2b2c2)，即a2b2c2.点评：(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提条件“一正、二定、三相等”；(2) 应用重要不等式a2b22ab放缩时要注意待证不等式的方向性在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求证：5a3b.证明(1)由已知得sin Asin Bsin Bsin C2sin2B，因为sin B0，所以sin Asin C2sin B，由正弦定理，得ac2b，即a，b，c成等差数列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab
6、，即有5ab3b20，即5a3b. 考点二分析法的应用 分析法证明问题的思路及适用范围利用分析法证明问题，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件；当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法典例2已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2
7、ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立点评：(1)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，如本例中，通过分析法找出与结论等价(或充分)的中间结论“c2a2acb2”，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证若a，b(1，)，证明.证明要证，只需证()2()2，只需证ab1ab0，即证(a1)(1b)0.因为a1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0成立，所以原不等式成立 考点三反证法的应用 用反证法证明问题的步骤典例3设a0，b0，且ab.证明：(1
8、)ab2；(2)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立点评：(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证(2)在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比
9、数列解(1)设等差数列an的公差为d.由已知得所以d2，故an2n1，Snn(n)(nN*)(2)证明：由(1)得bnn，假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0，因为p，q，rN*，所以所以pr，(pr)20，所以pr，与pr矛盾，所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列 考点四数学归纳法的应用 1应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也
10、成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法2利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性典例4(2019浙江高考)设等差数列an的前n项和为Sn，a34，a4S3.数列bn满足：对每个nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记cn，nN*，证明：c1c2cn2，nN*.解(1)设数列an的公差为d，由题意得解得a10，d2，an2n2，nN*.Snn2n，nN*.数列bn满足：对每个nN*，
11、Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列，(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn)，解得bn(SSnSn2)，即bnn2n，nN*.(2)证明：cn，nN*，用数学归纳法证明：当n1时，c102，不等式成立；假设当nk(kN*)时不等式成立，即c1c2ck2，则当nk1时，c1c2ckck122222()2，即nk1时，不等式也成立由得c1c2cn2，nN*.点评：用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化已知f (n)1，g(n)，nN*.(1)当n1,2,3时，试比较f (n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f (n)与g(n)的大小关系，并给出证明解(1)当n1时，f (1)1，g(1)1，所以f (1)g(1)；当n2时，f (2)，g(2)，所以f (2)g(2)；当n3时，f (3)，g(3)，所以f (3)g(3)(2)由(1)猜想，f (n)g(n)，用数学归纳法证明当n1,2,3时，不等式显然成立假设当nk(k3，kN*)时不等式成立，即1，则当nk1时，f (k1)f (k).因为0，所以f (k1)g(k1)由可知，对一切nN*，都有f (n)g(n)成立
