1、第3讲数学归纳法及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案D2用数学归纳法证明不等式(n2)的过程中，由nk到nk1时，不等式的左边()A增加了一项：B增加了两项：，C增加了两项：，又减少了一项：D增加了一项：，又减少了一项：解析当nk时，左边，nk1时，左边.故选C.答案C3数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A3n2 B
2、n2 C3n1 D4n3解析计算出a11，a24，a39，a416.可猜ann2，故应选B.答案B4某个命题与正整数有关，如果当nk(kN*)时该命题成立，那么可以推出nk1时该命题也成立现已知n5时该命题成立，那么()An4时该命题成立Bn4时该命题不成立Cn5，nN*时该命题都成立D可能n取某个大于5的整数时该命题不成立解析显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错答案C5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，利用归纳法假设证明nk1时，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被
3、9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k3)3展开，让其出现k3即可故应选A.答案A二、填空题6在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为_解析当n2时，a2(23)a2，a2.当n3时，a3(35)a3，a3.故猜想an.答案an7用数学归纳法证明：“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推理nk1时，左边应增加的项数是_解析当nk时，要证的式子为1k；当nk1时，要证的式子为12，f(8)，f(16)3，f(32)，则其一般结论为_解析因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有
4、f(2n).故填f(2n)(n2，nN*)答案f(2n)(n2，nN*)三、解答题9(2014陕西卷改编)设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式解由题设得，g(x)(x0)由已知得，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可得gn(x).下面用数学归纳法证明当n1时，g1(x)，结论成立假设nk(k2且kN*)时结论成立，即gk(x).那么，当nk1时，gk1(x)g(gk(x)，即结论成立由可知，结论对nN*成立10已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n
5、1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解(1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1，2，3时，不等式显然成立，假设当nk(k3)时不等式成立，即1.那么，当nk1时，f(k1)f(k).因为0，所以f(k1)2n1，n的第一个取值应是()A1 B2 C3 D4解析n1时，212，2113，2n2n1不成立；n2时，224，2215，2n2n1不成立；n
6、3时，238，2317，2n2n1成立n的第一个取值应是3.答案C12设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4时，f(n)_(用n表示)解析f(3)2，f(4)f(3)323，f(5)f(4)4234，f(6)f(5)52345，猜想f(n)234(n1)(n4)答案5(n1)(n2)14(2014重庆卷)设a11，an1b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN
7、*成立？证明你的结论解(1)法一a22，a31.再由题设条件知(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nN*)法二a22，a31，可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用数学归纳法证明上式：当n1时结论显然成立假设nk时结论成立，即ak1，则ak1111.这就是说，当nk1时结论成立综上可知，an1(nN*)(2)设f(x)1，则an1f(an)令cf(c)，即c1，解得c.下面用数学归纳法证明加强命题a2nca2n11.当n1时，a2f(1)0，a3f(0)1，所以a2a31，结论成立假设nk时结论成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上为减函数得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31.故ca2k31，因此a2(k1)ca2(k1)11.这就是说，当nk1时结论成立综上，符合条件的c存在，其中一个值为c.
