1、2充分条件与必要条件1.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若a=2,则ax+2y=0即x+y=0,与直线x+y=1平行,反之若直线ax+2y=0与x+y=1平行,则-a2=-1,a=2,故选C.答案:C2.设甲:ax2+2ax+10的解集是实数集R,乙:0a0的解集是实数集R,则a=0或a0,=4a2-4a0,所以0a3,x23是x1+x26,x1x29的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由x13,x23及不等式的性质,可得x1+x26,x1x
2、29成立.但由x1+x26,x1x29不能推出x13,x23.故选A.答案:A6.平面向量a,b都是非零向量,ab0是a与b夹角为锐角的条件.解析:若a与b夹角为锐角,则ab0,反之当ab0时,若a,b方向相同,则a与b夹角不是锐角.答案:必要不充分7.导学号01844002下列四个命题为真命题的是(填序号).“ab”是“2a2b”的充要条件;“a=b”是“lg a=lg b”的充分不必要条件;“函数f(x)=ax2+bx(xR)为奇函数”的充要条件是“a=0”;“定义在R上的函数y=f(x)是偶函数”的必要条件是“f(-x)f(x)=1”.解析:真,y=2x在R上是增函数,ab2a2b;假,
3、当a=b0时,lga,lgb无意义;真,f(x)是奇函数f(-x)+f(x)=0ax2-bx+ax2+bx=0ax2=0a=0;假,如f(x)=x2-1是偶函数,但f(1)=0,f(-1)f(1)无意义.答案:8.分别指出下列题目中p是q的什么条件.(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等;(3)p:m-2,q:方程x2-x-m=0无实根;(4)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.解(1)x-2=0(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0,则x=2或x=3,故不能推出x-2=0,p是q的充分不必要条件.(2)两个三角
4、形相似不能推出两个三角形全等,但两个三角形全等两个三角形相似,p是q的必要不充分条件.(3)m-2方程x2-x-m=0无实根,而方程x2-x-m=0无实根,则=1+4m0,即m-14,故不能推出m-2,p是q的充分不必要条件.(4)矩形的对角线相等,pq,而对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形),q不能推出p,p是q的充分不必要条件.9.导学号01844003已知数列an的前n项和Sn=pn+q(p0,且p1),求证:数列an为等比数列的充要条件为q=-1.证明(充分性)当q=-1时,a1=p-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),当n=1时也成立.又p0,且p1,于是an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p,故数列an为等比数列.(必要性)当n=1时,a1=S1=p+q.当n2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).因为p0,且p1,所以an+1an=pn(p-1)pn-1(p-1)=p(n2).因为an为等比数列,所以a2a1=an+1an=p,即p(p-1)p+q=p,即p-1=p+q,故q=-1.综上所述,数列an为等比数列的充要条件为q=-1.
