1、陕西省西安中学2021届高三数学八模试题 文（含解析）一、选择题（共12小题）.1已知向量（2，3），（3，2），则|（）AB2C5D502已知集合Mx|4x2，Nx|0，则MN（）Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x33定义：若复数z与z满足zz1，则称复数z与z互为倒数已知复数zi，则复数z的倒数z（）AiBCD4魔方又叫鲁比克方块（RubksCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得
2、现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）ABCD5将函数f（x）cos（2x+）（0）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数f（x）在的值域为（）ABCD1，16某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D57在同一直角坐标系中，函数y，yloga（x+）（a0且a1）的图象可能是（）ABCD8图是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如
3、图所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，且图中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为（）A30B42C48D549小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2加上这个数后的这组数据（）A平均数等于10，方差等于2B平均数等于10，方差小于2C平均数大于10，方差小于2D平均数小于10，方差大于210设x，y满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（）A0，10B1，10C1，17D0，1711已知双曲线E：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P若T恰好为线
4、段PF2的中点，则E的离心率为（）ABC2D12已知函数f（x）2x33x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切，则t的取值范围为（）A（，3）B（3，1）C（1，+）D（0，1）二、单空题13函数yf（x）的反函数为ylog2x，则f（1） 14已知tan（+）3，tan（+）2，那么tan 15已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为 ；该圆锥的体积为 16对于函数f（x）ex（e是自然对数的底数），a，bR，有同学经过一些思考后提出如下命题：f（a）f（b）f（a+b）；af（a）+bf（b）af（b）+bf（a）；则上述命题中，正确的有 三、解答题
5、：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答17某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列（1）求m，n的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列22列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关
6、，得到回归方程已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少（同一组数据用该区间的中点值代替）22列联表 男女合计消费金额300消费金额300合计临界值表：P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828，其中na+b+c+d18在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2（b2+c2a2）（1tanA）（1）求角C；（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度条件：ABC的面积S4且BA；条件：19已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且EO
7、F的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为EAB的重心，求直线l的方程20如图，边长为2的等边ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BCB1C1，BC2B1C1，A1CAC1（1）求证：A1B1平面ABC；（2）求多面体ABCA1B1C1的体积V21已知函数，g（x）是f（x）的导函数（1）若g（x）在（0，+）上单调递增，求m的取值范围；（2）设F（x）g（x）f（x），证明：当时，F（x）有且仅有两个零点22如图是美丽的三叶草图案，在以O为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，它由弧，弧，弧组成已知它们分别是方程为，4sin的圆上的一部分（1）
8、分别写出点H，M，N的极坐标；（2）设点P是由点H，M，N所确定的圆C上的动点，直线，求点P到L的距离的最大值23已知函数的最大值为4（其中m0）（1）求m的值；（2）若a2+b2+c2m，求的最小值参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知向量（2，3），（3，2），则|（）AB2C5D50解：（2，3），（3，2），（2，3）（3，2）（1，1），|故选：A2已知集合Mx|4x2，Nx|0，则MN（）Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x3解：Mx|4x2，Nx|0x|2x3，MNx|4x3，故选：A3定义：若复数z与z满足zz1，则称复数z与z互
9、为倒数已知复数zi，则复数z的倒数z（）AiBCD解：由题设可得：zi，故选：A4魔方又叫鲁比克方块（RubksCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）ABCD解：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，其中有3个面涂色
10、的小正方体共有8个，只有2个面涂色的小正方体共有12个，只有1个面涂色的小正方体共有6个，所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为故选：C5将函数f（x）cos（2x+）（0）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则函数f（x）在的值域为（）ABCD1，1解：将函数f（x）cos（2x+）（0）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）cos（2x+）的图象，+，f（x）cos（2x+）当x，2x+（，），故f（x）1，），故选：C6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D5解：根据三视图可判断直观图为：OA面ABC，ACAB，E为BC中点，EA
11、2，ECEB1，OA1，可得AEBC，BCOA，由直线与平面垂直的判定定理得：BC面AEO，AC，OESABC222，SOACSOAB1SBCO2故该三棱锥的表面积是2，故选：C7在同一直角坐标系中，函数y，yloga（x+）（a0且a1）的图象可能是（）ABCD解：由函数y，yloga（x+），当a1时，可得y是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数yloga（x+），是递增函数，图象恒过（，0）；当1a0时，可得y是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数yloga（x+），是递减函数，图象恒过（，0）；满足要求的图象为：D故选：D8图是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名已
12、知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，且图中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为（）A30B42C48D54解：设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为a1，a2，a3，a4成等差数列，由题意得6（a1+a2+a3+a4）156，即a1+a2+a3+a426，所以2a1+3d13，因为阴影部分的面积S6，所以11，联立得或（不合题意舍），故a4a1+3d8，所以最外层六边形的周长为48故选：C9小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2加上这
13、个数后的这组数据（）A平均数等于10，方差等于2B平均数等于10，方差小于2C平均数大于10，方差小于2D平均数小于10，方差大于2解：设这组数据为x1，x2，xn，它的平均数为10，方差为2，所以x1+x2+xn10n，+2n，添上数据10后，这组数据的平均数为（x1+x2+xn+10）（10n+10）10，方差为+（1010）222所以加上这个数后的这组数据平均数等于10，方差小于2故选：B10设x，y满足，则（x+1）2+y2的取值范围是（）A0，10B1，10C1，17D0，17解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），（x+1）2+y2的几何意义为可行域内动点与定点P（1
14、，0）距离的平方，由图可知，可行域内动点与定点P（1，0）距离的最小值且为1，最大值为|PA|，（x+1）2+y2的取值范围是1，17故选：C11已知双曲线E：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P若T恰好为线段PF2的中点，则E的离心率为（）ABC2D解：设F2（c，0），E的一条渐近线的方程为yx，过F2与E的一条渐近线垂直的直线PF2的方程为y（xc），联立可得垂足T（，），由T恰好为线段PF2的中点，可得P（c，），将P的坐标代入双曲线的方程可得，（）21，由e，可得（e）21，解得e，故选：D12已知函数f（x）2x33
15、x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切，则t的取值范围为（）A（，3）B（3，1）C（1，+）D（0，1）解：设过点P（1，t）的直线与曲线yf（x）相切于点（x，2x33x），则6x23，化简得，4x36x2+3+t0，令g（x）4x36x2+3+t，则令g（x）12x（x1）0，则x0，x1g（0）3+t，g（1）t+1，又过点P（1，t）存在3条直线与曲线yf（x）相切，则（t+3）（t+1）0，解得，3t1故选：B二、单空题13函数yf（x）的反函数为ylog2x，则f（1）解：由题意，令log2x1，x，f（1）故答案为：14已知tan（+）3，tan（+）2，那么t
16、an解：tan（+）2，2，解得tan；又tan（+）3，tan（+）2，tantan（+）故答案为：15已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为2；该圆锥的体积为解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，由l2r，解得l2r，又Sr2+r2r3r23，所以r21，解得r1；所以圆锥的母线长为l2r2，圆锥的高为h，所以圆锥的体积为Vr2h12故答案为：2，16对于函数f（x）ex（e是自然对数的底数），a，bR，有同学经过一些思考后提出如下命题：f（a）f（b）f（a+b）；af（a）+bf（b）af（b）+bf（a）；则上述命题中，正确的有解：对于，f（a）f（b
17、）eaebea+bf（a+b），故正确；对于，af（a）+bf（b）af（b）bf（a）aea+bebaebbea（ab）（eaeb）af（b）+bf（a）；设ab，则（ab）（eaeb）0，故af（a）+bf（b）af（b）+bf（a）成立，当ab时，（ab）（eaeb）0，故af（a）+bf（b）af（b）+bf（a）成立，故正确；对于，不妨设：，则，令g（a）0，解得，因此g（a）在（上单调递减，在（ln，+）上单调递增，故，故错误；对于，由于，而，故正确故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根
18、据要求作答17某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列（1）求m，n的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列22列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少（同一组
19、数据用该区间的中点值代替）22列联表 男女合计消费金额300消费金额300合计临界值表：P（K2k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828，其中na+b+c+d解：（1）由频率分布直方图可知，m+n0.010.001520.0010.006，由中间三组的人数成等差数列可知m+0.00152n，可解得m0.0035，n0.0025（2）周平均消费不低于300元的频率为（0.0035+0.0015+0.001）1000.6，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为1000.660人所以22列联表为男性女性总计消费金额300204060消费金额300251540
20、总计4555100K28.2496.635所以有99%的把握认为消费金额与性别有关（3）调查对象的周平均消费为0.15150+0.25250+0.35350+0.15450+0.10550330，由题意330538+b，b520，y525+52039518在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2（b2+c2a2）（1tanA）（1）求角C；（2）若，D为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度条件：ABC的面积S4且BA；条件：解：（1）2b2（b2+c2a2）（1tanA）2b22bccosA（1tanA）bc（cosAsinA），由正弦定理可得：sinBsinC（c
21、osAsinA），sin（A+C）sinCcosAsinCsinA，sinAcosCsinCsinA0，tanC1，解得C（2）选择条件，cosB，sinBsinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，由正弦定理可得：a2在ABD中，由余弦定理可得：AD2AB2+BD22ABBDcosB，解得AD19已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且EOF的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，若点F恰为EAB的重心，求直线l的方程解：（1）依据题意得，解得a，b2，c，所以椭圆C的方程为+1（2）延长EF交直线l于点
22、D，因为点F为EAB的重心，所以点D为线段AB的中点，由点E（0，2），F（，0），得D（，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由，得（x1x2）+（y1y2）0，所以+0，所以kAB，所以直线l的方程为y1（x），即x+y4020如图，边长为2的等边ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直，且BCB1C1，BC2B1C1，A1CAC1（1）求证：A1B1平面ABC；（2）求多面体ABCA1B1C1的体积V【解答】（1）证明：四边形A1ACC1是菱形，ACA1C1又AC平面ABC，A1C1平面ABC，A1C1平面ABC同理得，B1C1平面ABCA1C1，B1C1平面A1B1
23、C1，且A1C1B1C1C1，平面ABC平面A1B1C1又A1B1平面A1B1C1，A1B1平面ABC（2）解：ACA1C1，B1C1BC，A1C1B1ACB60A1C1AC2，2B1C1BC2，在菱形A1ACC1中，A1CAC1，ACC160，平面ABC平面ACC1，取AC的中点为M，连接BM，C1M，BM平面ACC1，C1M平面ABC由（1）知，平面ABC平面A1B1C1，点B到平面A1B1C1的距离为又点B到平面A1ACC1的距离为，连接BC1，则21已知函数，g（x）是f（x）的导函数（1）若g（x）在（0，+）上单调递增，求m的取值范围；（2）设F（x）g（x）f（x），证明：当时，
24、F（x）有且仅有两个零点【解答】（1）解：因为，x0，所以g（x）f（x）exx（m+1），因为g（x）在（0，+）上单调递增，所以g（x）ex1+0在（0，+）上恒成立，即mx2x2ex，令h（x）x2x2ex，则h（x）2x2xexx2ex2x（1ex）x2ex，因为x0，所以ex1，所以1ex0，所以2x（1ex）x2ex0，即h（x）0，所以h（x）在（0，+）上单调递减，说h（x）h（0）0，所以m0，即m的取值范围是0，+）（2）证明：F（x）g（x）f（x）exx（m+1）mx（m+1）+x2+mlnx，当时，F（x）x+x2+lnx（x0），所以F（x）+x，令F（x）0，解得
25、0x1，令F（x）0，解得x1，所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，所以F（x）在x1处取得极小值，也是最小值，最小值为F（1）0，当x时，F（）（ln2）0，当x2时，F（x）ln2（ln2）0，所以由零点存在性定理可得F（x）在区间（，1）和（1，2）上各有一个零点，结合F（x）的单调性可知，F（x）有且仅有两个零点22如图是美丽的三叶草图案，在以O为极点，Ox轴为极轴的极坐标系中，它由弧，弧，弧组成已知它们分别是方程为，4sin的圆上的一部分（1）分别写出点H，M，N的极坐标；（2）设点P是由点H，M，N所确定的圆C上的动点，直线，求点P到L的距离的最大值解：（1），4sin0，2），联立：，由图形可知：（，0），所以，2，所以；联立，解得，联立（2）易知圆C是以O为圆心，2为半径的圆，直线L过圆心O，所以点P到直线L的距离最大值是半径223已知函数的最大值为4（其中m0）（1）求m的值；（2）若a2+b2+c2m，求的最小值解：（1）所以m3（2）由（1）知a2+b2+c23，由柯西不等式有：所以，所以最小值为
