1、第五章数列第一讲数列的概念与简单表示法知识梳理双基自测知识点一数列的有关概念概念含义数列按照 一定顺序 排列的一列数数列的项数列中的 每一个数 数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式 anf(n) 表达，这个公式叫做数列an的通项公式前n项和数列an中，Sn a1a2an 叫做数列an的前n项和知识点二数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点 (n，an) 画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用 公式 表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法知识点三an与Sn
2、的关系若数列an的前n项和为Sn，则an知识点四数列的分类1数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)的函数，当自变量 从小到大 依次取值时对应的一列函数值数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是 一群孤立的点 .2常见数列的通项公式(1)自然数列：1,2,3,4，ann.(2)奇数列：1,3,5,7，an2n1.(3)偶数列：2,4,6,8，an2n.(4)平方数列：1,4,9,16，ann2.(5)2的乘方数列：2,4,8,16，an2n.(6)乘积数列：2,6,12,20，ann(n1)(7)正整数的倒数列：1，an.(8)重复数串列：9,99,99
3、9,9 999，an10n1.(9)符号数列：1,1，1,1，或1，1,1，1，an(1)n或an(1)n1.题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来()(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(3)若an1an0(n2)，则函数an是递增数列()(4)如果数列an的前n项和为Sn，则对于任意nN*，都有an1Sn1Sn.()解析(1)因为数列是按一定顺序排列的一列数，如我班某次数学测试成绩，按考号从小到大的顺序排列，这个数列肯定没有通项公式，所以错误(2)比如数列1,0,1,0，的通项公式为：an或an或an，
4、所以正确(3)因为n1时，a2与a1不确定大小关系(4)由数列前n项和的定义可知，当nN*，都有an1Sn1Sn，所以正确题组二走进教材2(必修5P67A组T2改编)数列1，4,9，16,25，的一个通项公式是(C)Aann2 Ban(1)nn2Can(1)n1n2 Dan(1)n(n1)2解析因为每一项的绝对值是该项序号的平方，奇数项符号为正，偶数项符号为负，所以an(1)n1n2.故选C.3(必修5P33A组T4改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a5等于(D)A. B C D解析a212，a31，a413，a51.4(必修5P33A组T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点
5、数构成的数列的一个通项公式an 5n4 .题组三走向高考5(2020浙江，11,4分)我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列数列(nN*)的前3项和是 10 .解析数列的前三项依次为1，3，6，所求和为13610.6(2018全国卷，5分)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6 63 .解析解法一：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11；当n2时，a1a22a21，解得a22；当n3时，a1a2a32a31，解得a34；当n4时，a1a2a3a42a41，解得a48；当n5时，a1a2a3a4a52a51，解得a516；当n
6、6时，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632；所以S61248163263.解法二：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S663.考点突破互动探究考点一由数列的前几项求数列的通项公式自主练透例1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)，；(3)，；(4)，2，8，；(5)5,55,555,5 555，思考：如何根据数列的前几项的值写出数列的一个通项公式？解析(1)偶数项为正，奇数项为负，故
7、通项公式必含有因式(1)n；观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式an(1)n(6n5)(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式an(1)n.(3)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积，故所求数列的一个通项公式an.(4)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察，即，从而可得数列的一个通项公式an.(5)将原数列改写为9，99，999.，易知数列9,99,999，的通项公式为1
8、0n1，故所求的数列的一个通项公式an(10n1)名师点拨由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一.考点二由an与Sn的关系求通项公式多维探究角度1已知Sn求an问题例2 (1
9、)若数列an的前n项和Snn210n，则此数列的通项公式为an 2n11 .(2)若数列an的前n项和Sn2n1，则此数列的通项公式为an .(3)已知数列an满足a12a23a3nan2n，则an .解析(1)当n1时，a1S11109；当n2时，anSnSn1n210n(n1)210(n1)2n11.当n1时，21119a1，所以an2n11.故填2n11.(2)当n1时，a1S12113；当n2时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1.综上有an故填(3)当n1时，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由，得n
10、an2n2n12n1，an(n2)显然当n1时不满足上式，an角度2Sn与an的关系问题例3 已知数列an的前n项和Snan，则an的通项公式为an n1.解析当n1时，a1S1a1，所以a11.当n2时，anSnSn1anan1，所以，所以数列an为首项a11，公比q的等比数列，故ann1.名师点拨Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式(2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解已知Sn求an的一般步骤(1)当n1时，由a1S1，求a1的值(2)当n2时，由anSn
11、Sn1，求得an的表达式(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an.(4)写出an的完整表达式变式训练1(1)(角度1)(2020福建三明一中期中)已知Sn为数列an的前n项和，且log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式(B)Aan2n BanCan2n1 Dan2n1(2)(角度2)(2021辽宁部分重点高中高三联考)已知数列an的前n项和为Sn，满足Sn2an1，则an的通项公式为(B)Aan2n1 Ban2n1Can2n1 Dan2n1(3)(角度1)设数列an满足a13a232a33n1an.则an .解析(1)由log2(Sn1)n1，得Sn12n1.当
12、n1时，a1S13；当n2时，anSnSn12n，所以数列an的通项公式为an故选B.(2)当n1时，S12a11a1，a11.当n2时，anSnSn12an2an1，an2an1.因此an2n1(n2)又n1时，2n11a1，an2n1.故选B.(3)因为a13a232a33n1an，则当n2时，a13a232a33n2an1，得3n1an，所以an(n2)由题意知a1符合上式，所以an.考点三由递推关系求通项公式多维探究角度1形如an1anf(n)，求an例4 (2021河南师大附中月考)已知数列an满足an1an，a11，则an 2.解析由题意知anan1an(anan1)(an1an2
13、)(a2a1)a112.角度2形如an1anf(n)，求an例5 (2021宁夏银川月考)在数列an中，a11,3an12an(nN*)，则数列an的通项公式为(A)Aan BanCan Dan解析解法一：由已知得ana11.解法二：由题意得.又n1时，1，故数列是首项为1，公比为的等比数列从而，即an.故选A.解法三：当n1时，选项A为1，B为1，C为，D为1，否定C，当n2时，由已知得a2，选项A为，B为，D为，否定B，D，故选A.角度3形如an1AanB(A0且A1)，求an例6 (2021西北师大附中调研)已知数列an满足a12，且an13an6，则an 3n13 .解析an13an6
14、，an133(an3)，又a12，a131，an3是首项为1，公比为3的等比数列，an33n1，an3n13.名师点拨已知递推关系求通项，一般有三种常见思路(1)算出前几项，再归纳、猜想(2)形如“an1panq”这种形式通常转化为an1p(an)，由待定系数法求出，再化为等比数列(3)递推公式化简整理后，若为an1anf(n)型，则采用累加法；若为f(n)型，则采用累乘法变式训练2根据下列条件，写出数列an的通项公式：(1)(角度1)若a11，an1an2n1，则ann22n2；(2)(角度2)若a11，nan1(n1)an(n2)，则an；(3)(角度3)若a11，an13an2，则an
15、23n11 .解析(1)an1an2n1，当n2时，a2a11，a3a23，anan12n3，ana1(n1)2，an(n1)21n22n2，又当n1时，122121，n1时符合上式ann22n2.(2)nan1(n1)an，又a11，ana1.(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，an1是首项为2公比为3的等比数列，an123n1，an23n11.考点四数列的函数性质多维探究角度1数列的单调性例7 若数列an满足ann2kn4(nN*)且an是递增数列，则实数k的取值范围为 k3 .解析由数列是一个递增数列，得an1an，又因为通项公式ann2kn4，所以(n1)2
16、k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN*，所以k3.角度2数列的周期性例8 (2020福建福清校际联盟期中联考)已知Sn为数列an前n项和，若a1，且an1(nN*)，则6S100(A)A425 B428 C436 D437分析由递推公式逐项求解，探求规律解析由数列的递推公式可得：a2，a33，a42，a5a1，据此可得数列an是周期为4的周期数列，则：6S100625425.选A.角度3数列的最大、小项问题例9 已知数列an的通项公式an(n1)n，则数列an中的最大项是第 9、10 项解析解法一：an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1
17、an；当n9时，an1an0，即an1an，该数列中有最大项，为第9、10项，且a9a10109.解法二：根据题意，令(n2)，即解得9n10.又nN*，n9或n10，该数列中有最大项，为第9、10项，且a9a10109.名师点拨(1)解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值(2)判断数列单调性的方法：作差(或商)法；目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去(3)求数列中最大(小)项的方法：根据数列的单调性判断；利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值变式训练3(1)(角度
18、1)已知数列an的通项公式为an，若数列an为递减数列，则实数k的取值范围为(D)A(3，) B(2，)C(1，) D(0，)(2)(角度3)数列an的通项公式an，则数列an中的最小项是(B)A3 B19 C D(3)(角度2)已知数列an满足a10，an1(nN*)，则a2 022等于 .解析(1)因为an1an，由数列an为递减数列知，对任意nN*，an1an33n对任意nN*恒成立，所以k(0，)(2)令f(x)x(x0)，运用基本不等式得f(x)2，当且仅当x3时等号成立因为ann，所以n2，由于nN*，不难发现当n9或n10时，an19最小，故选B.(3)由已知得a10，a2，a3
19、，a40，a5，由此可知数列an的项是以3为周期重复出现的，而2 0223674，因此a2 022a3.名师讲坛素养提升递推数列的通项公式的求法热点一an1(A、B、C为常数)型例10 已知数列an中，a11，an1，则数列an的通项公式为an (nN*).解析an1，a11，an0，即，又a11，则1，是以1为首项，为公差的等差数列，(n1)，an(nN*)名师点拨形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解热点二an1panf(n)(p为常数)型例11 在数列an中，(1)若a12，an14an3n1，nN*，则an 4n1n .(2)若a11，an12a
20、n3n，nN*，则an 3n2n .分析观察递推式特征：an1panf(n)，类似等比数列，故可尝试化为等比数列求解，以(1)为例可设an1(n1)4(ann)，整理得an14an3n(3)所以，即转化成功解析(1)an14an3n1，an1(n1)4(ann)，即4，又a12，a111，ann是首项为1，公比为4的等比数列，ann4n1.an4n1n.(2)an12an3n，令an13n12(an3n)比较系数得1.an13n12(an3n)，即2，又a11，a132，an3n是首项为2，公比为2的等比数列，an3n2n，an3n2n.另解：an12an3n，1，3，又a11，是首项为2，公
21、比为的等比数列，32n1，an3n2n.名师点拨(1)形如an1panAnB(p、A、B为常数)的类型，可令an1(n1)p(ann)，求出、的值即可知ann为等比数列，进而可求an.(2)形如an1panAqn(p、A为常数)的类型当pq时，可令an1qn1p(anqn)，求出的值即可知anqn是等比数列，进而可求an，当pq时可化为A即A(常数)知为等差数列，进而可求an.变式训练4在数列an中，(1)a11，an(n2)，则an ；(2)若a11，an12an3n，nN*，则an 52n13n3 ；(3)若a11，an12an32n，nN*，则an (3n2)2n1 .解析(1)将an两边取倒数，得2，这说明是一个等差数列，首项是1，公差为2，所以1(n1)22n1，即an.(2)an12an3n，令an1(n1)2(ann)，则即an13(n1)32(an3n3)又a11，an3n3是首项为5，公比为2的等比数列，an3n352n1an52n13n3.(3)an12an32n，3，又a11，是首项为1，公差为3的等差数列，13(n1)，an(3n2)2n1.
