1、4.2.3直线与圆的方程的应用课后篇巩固提升基础巩固1.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|23,则k的取值范围是()A.-34,0B.-,-340,+)C.-33,33D.-23,0解析圆心的坐标为(3,2),且圆与x轴相切.当|MN|=23时,弦心距最大,由点到直线的距离公式得|3k-2+3|1+k21,解得k-34,0.答案A2.直线3x+y-23=0截圆x2+y2=4得到的劣弧所对的圆心角为()A.30B.45C.60D.90解析圆心到直线的距离为d=232=3,圆的半径为2,劣弧所对的圆心角为60.答案C3.已知圆O:x2+y2=4与圆C:x
2、2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称,则直线l的方程是()A.x-2y+1=0B.2x-y-1=0C.x-y+3=0D.x-y-3=0解析圆x2+y2=4的圆心是O(0,0),圆x2+y2-6x+6y+14=0的圆心是C(3,-3),所以直线l是OC的垂直平分线.又直线OC的斜率kOC=-1,所以直线l的斜率k=1,OC的中点坐标是32,-32,所以直线l的方程是y+32=x-32,即x-y-3=0.答案D4.圆x2+y2-4x+6y-12=0过点(-1,0)的最大弦长为m,最小弦长为n,则m-n=()A.10-27B.5-7C.10-33D.5-322解析圆的方程可化为(x-2)2+
3、(y+3)2=25,圆心(2,-3)到(-1,0)的距离为(0+3)2+(-1-2)2=325.最大弦长为直径,即m=10,最小弦长为以(-1,0)为中点的弦,即n=252-(32)2=27.m-n=10-27.答案A5.圆x2+y2=4上与直线l:4x-3y+12=0距离最小的点的坐标是()A.85,65B.85,-65C.-85,65D.-85,-65解析圆的圆心(0,0),过圆心与直线4x-3y+12=0垂直的直线方程为3x+4y=0.3x+4y=0与x2+y2=4联立可得x2=6425,所以它与x2+y2=4的交点坐标是-85,65,85,-65.又圆上一点与直线4x-3y+12=0的
4、距离最小,所以所求的点的坐标为-85,65.答案C6.若直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则ECF的面积为.解析圆心C(2,-3)到直线x-2y-3=0的距离为d=55=5,又知圆C的半径长为3,|EF|=232-(5)2=4,SECF=12|EF|d=1245=25.答案257.若O:x2+y2=5与O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.解析两圆圆心分别为O(0,0),O1(m,0),且5|m|35.又易知OAO1A,m2=(5)2+(25)2=25,m=5,|AB|=25255=4.
5、答案48.已知点P(x,y)在圆x2+y2-6x-6y+14=0上.(1)求yx的最大值和最小值;(2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值.解(1)圆x2+y2-6x-6y+14=0即为(x-3)2+(y-3)2=4,可得圆心为C(3,3),半径为r=2.设k=yx,即kx-y=0,则圆心到直线的距离dr,即|3k-3|1+k22,平方得5k2-18k+50,解得9-2145k9+2145.故yx的最大值是9+2145,最小值为9-2145.(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示点(x,y)与A(-1,0)的距离的平方加上2.连接AC,交圆C于B,延长AC,交圆于D,可得A
6、B为最短,且为|AC|-r=16+9-2=3;AD为最长,且为|AC|+r=5+2=7,则x2+y2+2x+3的最大值为72+2=51,x2+y2+2x+3的最小值为32+2=11.9.有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的两倍,若A,B两地相距10千米,顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?解以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图所示.设A(-5,0),则B(5,0).在坐标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元/
7、千米,则从B地运货到P地的运费为a元/千米.若P地居民选择在A地购买此商品,则2a(x+5)2+y2a(x-5)2+y2,整理得x+2532+y22032.即点P在圆C:x+2532+y2=2032的内部.也就是说,圆C内的居民应在A地购物.同理可推得圆C外的居民应在B地购物.圆C上的居民可随意选择A,B两地之一购物.能力提升1.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()A.62-2B.8C.46D.10解析易知点A关于x轴对称点A(-1,-1),A与圆心(5,7)的距离为(5+1)2+(7+1)2=10.故所求最短路程为10-2
8、=8.答案B2.直线y=x+b与曲线x=1-y2有且仅有一个公共点,则实数b的取值范围是()A.b=2B.-1b1或b=-2C.-1b1D.以上都不正确解析如图,作半圆的切线l1和经过端点A,B的直线l3,l2,由图可知,当直线y=x+b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3,不包括l2)时,满足题意.l1与半圆相切,b=-2;当直线y=x+b位于l2时,b=-1;当直线y=x+b位于l3时,b=1.b的取值范围是-1b1或b=-2.答案B3.已知x+y+1=0,则(x+2)2+(y+3)2的最小值是.解析(x+2)2+(y+3)2表示点(x,y)与点(-2,-3)之间的距离,又点(x,y)
9、在直线x+y+1=0上,故最小值为点(-2,-3)到直线x+y+1=0的距离,即d=|-2-3+1|2=22.答案224.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a=.解析圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离为d=|a+a-2|a2+1.因为ABC为等边三角形,所以|AB|=|BC|=2,所以|a+a-2|a2+12+12=22,解得a=415.答案4155.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a=.解析由题意可知,直线x-y+2=0过圆心
10、-1,-a2,所以-1-a2+2=0,a=-2.答案-26.某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成(如图所示).已知隧道总宽度AD为63 m,行车道总宽度BC为211 m,侧墙面高EA,FD为2 m,弧顶高MN为5 m.(1)建立适当的直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程.(2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.解(1)以EF所在直线为x轴,以MN所在直线为y轴,以1m为单位长度建立直角坐标系xOy,则E(-33,0),F(33,0),M(0,3),由于所求圆的圆心在y轴上,
11、所以设圆的方程为(x-0)2+(y-b)2=r2,因为F,M在圆上,所以(33)2+b2=r2,02+(3-b)2=r2,解得b=-3,r2=36,所以圆的方程为x2+(y+3)2=36.(2)设限高为h,作CPAD,交圆弧于点P,则|CP|=h+0.5,将P的横坐标x=11代入圆的方程,得(11)2+(y+3)2=36,得y=2或y=-8(舍),所以h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m).所以车辆通过隧道的限制高度是3.5米.7.在RtABO中,BOA=90,|OA|=8,|OB|=6,点P为它的内切圆C上任一点,求点P到顶点A,B,O的距离的平方和
12、的最大值和最小值.解如图所示,以O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,则A(8,0),B(0,6),内切圆C的半径r=126812(6+8+10)=2.圆心坐标为(2,2).内切圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.设P(x,y)为圆C上任一点,点P到顶点A,B,O的距离的平方和为d,则d=|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3x2+3y2-16x-12y+100=3(x-2)2+(y-2)2-4x+76.点P(x,y)在圆上,(x-2)2+(y-2)2=4.d=34-4x+76=88-4x.点P(x,y)是圆C上的任意点,x0,4.当x=0时,dmax=88;当x=4时,dmin=72.6
