1、第三讲圆的方程知识梳理双基自测知识点一圆的定义及方程定义平面内到_定点_的距离等于_定长_的点的集合(轨迹)叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C：_(a，b)_半径：_r_一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：半径：r_知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(1)(x0a)2(y0b)2_r2点在圆上；(2)(x0a)2(y0b)2_r2点在圆外；(3)(x0a)2(y0b)2_r2点在圆内1圆心在过切点且垂直于切线的直线上2圆心在任一弦的垂直平分线上3两圆相切时，切点与两圆心三点共线4以A(x1，y1)，B(x2，y2
2、)为直径的两端点的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(公式推导：设圆上任一点P(x，y)，则有kPAkPB1，由斜率公式代入整理即可)题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0()(3)方程x22axy20一定表示圆()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDxEyF0()(5)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆()题组二走进教材2(必修2P124
3、A组T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_(x2)2y210_解析设圆心坐标为C(a,0)，点A(1,1)和B(1,3)在圆C上，|CA|CB|，即，解得a2，圆心为C(2,0)，半径|CA|，圆C的方程为(x2)2y2103(必修2P132A组T3)以点(2，1)为圆心且与直线3x4y50相切的圆的方程为(C)A(x2)2(y1)23B(x2)2(y1)23C(x2)2(y1)29D(x2)2(y1)29解析因为圆心(2，1)到直线3x4y50的距离d3，所以圆的半径为3，即圆的方程为(x2)2(y1)29故选C题组三走向高考4(2019北京高考)设抛
4、物线y24x的焦点为F，准线为l则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_(x1)2y24_解析抛物线的方程为y24x，其焦点坐标为F(1，0)，准线l的方程为x1又圆与直线l相切，圆的半径r2，故圆的方程为(x1)2y245(2020高考全国)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2xy30的距离为(B)ABCD解析设圆心为P(x0，y0)，半径为r，圆与x轴，y轴都相切，|x0|y0|r，又圆经过点(2,1)，x0y0r且(2x0)2(1y0)2r2，(r2)2(r1)2r2，解得r1或r5r1时，圆心P(1,1)，则圆心到直线2xy30的距离d；r5时，圆心P(5,5)，则圆心到
5、直线2xy30的距离d故选B考点突破互动探究考点一求圆的方程自主练透例1(1)(2021海南海口二中模拟)已知圆M与直线3x4y0及3x4y100都相切，圆心在直线yx4上，则圆M的方程为(C)A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21(2)(2021重庆一中、湖北鄂州期中)圆C半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为(B)Ax2y22x30Bx2y24x0Cx2y24x0Dx2y22x30(3)(2018天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_x2y22x0_
6、(4)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_(x2)2y29_解析(1)由题意知，圆M的半径r为两平行线间距离2的一半，r1，设圆心的坐标为(a，a4)，则解得a3，圆心坐标为(3，1)，圆M的方程为(x3)2(y1)21，故选C另解：与两平行直线距离相等的直线方程为3x4y50，由，得圆心坐标为(3，1)，又两平行线间距离为2，圆M的半径r1，圆M的方程为(x3)2(y1)21故选C(2)设圆心C(a,0)(a0)，由题意知2，解得a2，故圆C的方程为(x2)2y222，即x2y24x0，故选B(3)设圆的一般方程为x2y2DxE
7、yF0分别代入(0,0)，(1,1)，(2,0)三点，得解得故圆的方程为x2y22x0(4)设圆C的圆心坐标为(a,0)，a0，半径为r，则a0，a2r2(20)2(0)29，圆C的方程为(x2)2y29名师点拨求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值变式训练1(1)若圆C的半径为1，圆心在第一
8、象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(A)A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21D(x3)2(y1)21(2)圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程为_(x1)2(y2)210_解析(1)由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a0)，又圆与直线4x3y0相切，1，解得a2或a(舍去)圆的标准方程为(x2)2(y1)21故选A(2)AB的中点为H(0，4)，且kAB，AB中垂线方程为y42x，即2xy40由得圆心C(1，2)，r2AC210故所求圆的方程为(x1)2(y2)210考点二与圆有关的最值
9、问题多维探究角度1斜率型最值例2已知点P(x，y)在圆x2(y1)21上运动，则的最大值与最小值分别为_，_解析设k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值由1，解得k，故填，角度2截距型最值例3(2021海南海口模拟)已知实数x，y满足x2y24(y0)，则mxy的取值范围是(B)A(2，4)B2，4C4,4D4,2解析x2y24(y0)表示圆x2y24的上半部分，如图所示，直线xym0的斜率为，在y轴上的截距为m；当直线xym0过点(2,0)时，m2设圆心(0,0)到直线xym0的距离为d，则即解得m2，4角度3与距离有关的最值例4(202
10、1陕西西安一中质检)P是圆M：x2(y3)24上的动点，则P到直线l：xy30的最短距离为(D)A5B3C2D1解析如图，过M作MAl于A，当P在线段MA上时，|PA|为最短距离，|MA|3，|PA|MA|21引申本例中若P(x，y)，则(1)(x3)2(y1)2的最大值为_49_，最小值为_9_(2)|x2y2|的取值范围为_82，82_解析(1)(x3)2(y1)2表示圆上的点到点N(3，1)距离的平方，由|MN|5知圆上的点到N的距离的最大值为7，最小值为3，故(x3)2(y1)2的最大值为49，最小值为9(2)|x2y2|表示圆上的点到直线l1：x2y20距离的倍，又圆心M(0,3)到
11、直线l1的距离为，圆M上的点到直线l2距离的取值范围为故|x2y2|的取值范围为82，82名师点拨与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题(4)圆上的点到定点(定直线)距离的最大值与最小值为圆心到定点(定直线)距离与半径的和与差变式训练2已知实数x、y满足方程x2y24x10求：(1)(角度1)的最大值和最小值；(2)(角度2)yx的最大值和最小值；(3)(角度3)x2y2的最大值和最小值解析(1)如图，
12、方程x2y24x10表示以点C(2,0)为圆心，以为半径的圆设k，即ykx，则圆心(2,0)到直线ykx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值由，解得k23，所以kmax，kmin(2)解法一：yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2所以yx的最大值为2，最小值为2解法二：设圆的参数方程为(02)，则yxsin cos 2sin2，当时，取最大值2，当时，取最小值2(3)解法一：x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2
13、的最大值是(2)274x2y2的最小值是(2)274解法二：由(2)中的参数方程可得：x2y2(2cos )2(sin )274cos从而得x2y2的最大值为74，最小值为74考点三与圆有关的轨迹问题师生共研例5已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解析(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|P
14、N|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10名师点拨求与圆有关的轨迹方程的方法 | | |变式训练3(2021河北衡水中学调研)已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解析(1)解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0因为ACBC，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)解法二：设
15、AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)名师讲坛素养提升对称思想在圆中的应用例6(1)一条光线从
16、点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为(D)A或B或C或D或(2)已知A(0,2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_2_解析(1)圆(x3)2(y2)21的圆心为C(3,2)，半径r1如图，作出点A(2，3)关于y轴的对称点B(2，3)由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y(3)k(x2)，即kxy2k30由反射光线与圆相切可得1，即|5k5|，整理得12k225k120，即(3k4)(4k3)0，解得k或k，故选D(2)圆C的方程可化为
17、(x2)2(y1)25，其圆心C(2，1)关于直线l：xy20的对称点为C(3，4)，|PA|PQ|的最小值为|AC|2引申本例(1)中入射光线所在直线的方程为_4x3y10或3x4y60_名师点拨1光的反射问题一般化为轴对称解决2求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决3定点到圆上动点距离的最大(小)值为定点到圆心的距离加(减)半径；圆上的点到定直线距离的最大(小)值为圆心到直线的距离加(减)半径变式训练4已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为(A)A54B1C62D解析C1(2,3)关于x轴的对称点为C3(2，3)，又|C2C3|5，|PM|PN|的最小值为53154故选A
