1、课后素养落实(九)数列在日常经济生活中的应用 (建议用时：40分钟)一、选择题1有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上一层的两倍，这座塔一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A190B191C192D193C设最上面一层有x盏，则第二层有2x盏，第三层有4x盏，第四层有8x盏，第七层有26x盏，由题意知，x2x4x8x26x381，即381，解得x3，故底层所点灯的盏数是2631922夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7 ，已知山顶气温是14.1 ，山脚的气温是26 ，那么此山相对于山脚的高度是()A1 500米 B1 600米 C1 700米 D1 800米C由题意知高山上每升高
2、100米的气温构成数列an，则an是等差数列，其中a126，an14.1，d0.7，14.126(n1)(0.7)，n18，山高为(181)1001 700(米)3某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()A5年 B6年 C7年 D8年C由已知可得第n年的产量anf(n)f(n1)3n2；当n1时也适合据题意令an150n5，即从第8年开始超过150，即这条生产线最多生产7年4 某小区现有住房的面
3、积为a平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n年后该小区的住房面积为()Aa1.1nnb Ba1.1n10b(1.1n1)Cn(1.1a1) D1.1n(ab)B由an1an1.1b， a0a，a1a1.1b，则a2a1.121.1bb， a3a1.131.12b1.1bb a1.13b(11.11.12)， an1.1nab(11.11.121.1n1)1.1nab1.1na10(1.1n1)b5“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次
4、得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()Af Bf Cf DfD由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为的等比数列，设此数列为an，则a8f，即第八个单音的频率为f二、填空题6某人为了观看2024年巴黎奥运会，从2020年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2024年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为_(1p)5(1p)取出钱的总数应为a(1p)4a(1p)3a(1p)2a(1p)1a(1
5、p)1(1p)(1p)2(1p)3a(1p)(1p)5(1p)7某露天剧场有28排座位，每相邻两排的座位数相同，第一排有24个座位，以后每隔一排增加两个座位，则全剧场共有座位_个1 036第1，2排座位总数记为a148，第3，4排座位总数为a248452，依次成公差为4的等差数列an，其中n14，Sn144841 0368一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫作“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个整数为a，当a2，2 019时，符合条件的a共有_
6、个135法一：由题设a3m25n3，m，nN，则3m5n1，m，nN，当m5k时，n不存在；当m5k1时，n不存在；当m5k2时，n3k1，满足题意；当m5k3时，n不存在；当m5k4时，n不存在其中kN故2a15k82 019，解得k，则k0，1，2，134，共135个即符合条件的a共有135个，故答案为135法二：一个整数除以三余二，这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式
7、为an815(n1)15n7，由15n72 019得15n2 026，n135 ，因为nN，所以n1，2，3，135，共有135个三、解答题9流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病某市去年11月份曾发生流感据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8 670人问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数解设从11月1日起第n(n
8、N，1n30)日感染此病毒的新患者人数最多，则从11月1日至第n日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50，前n日的患者总人数即该数列前n项之和Sn20n5025n25n从第n1日开始，至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为20(n1)503050n60，公差为30，项数为(30n)，(30n)日的患者总人数为T30n(30n)(50n60)(30)(30n)(65n495)65n22 445n14 850依题意，SnT30n8 670，即(25n25n)(65n22 445n14 850)8 670化简得n261n58
9、80，解得n12或n491n30n12第12日的新患者人数为20(121)5057011月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的新患者人数为570人10某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量(1)求an的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a，如果ba，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 20.301)解(1)设第一年森林木材存量为a1，第n年后的森林木材存量为an，则a1abab，a2a1bab，a3a2bab，anaba4b(n
10、N)(2)假设当ba时有ana，a4a5，n7.2答：经过8年后该地区就开始水土流失11中国古代著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了()A6里 B12里 C24里 D96里A由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列an，设等比数列an的首项为a1，公比为q，则q，依题意有378，解得a1192，则a61926，最后一天走了6里，故选A12某人在一年12个月中，每月10日
11、向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和为()A5(12312)元B5(12311)元C1 0005(5)2(5)3(5)12元D1 0005(5)2(5)3(5)11元A1 0001525351255(12312)(元) 13某工厂购买一台机器a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5，按复利计算，则a，b应满足()AbBb(15)12Cb(15)Db(15)12Db(11.0051.00521.00511)(15)12a，12b(15)12a，b(15)12，又b故选D14一题两空孙子算经
12、中“物不知数”问题的解法，西方称之为“中国剩余定理”这是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 020这2 020个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列共有_项，这些项的和为_9797 873能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an21n20，由1an2 020得1n97，又nN，故此数列共有97项，这些项的和为97 87315某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国
13、家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额(1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式；(2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列解(1)根据题意知TnTn1(1r)an(n2)(2)T1a1，对n2反复使用上述关系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，在式两端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)an(1r)n1ra1(1r)nan即Tn(1r)nn如果记An(1r)n，Bnn，则TnAnBn其中An是以(1r)为首项，以1r(r0)为公比的等比数列；Bn是以为首项，为公差的等差数列
