1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)必备知识自主学习 1.正弦函数、余弦函数的性质 正弦函数余弦函数图象 值域_单 调 性增区间_ 减区间 _2k2kkZ22，（）2k2k kZ，（）2k2k kZ，（）32k2kkZ22，（）-1,1-1,1 正弦函数余弦函数最 值ymax=1x=+2k,kZ_ymin=-1 _x=(2k+1),kZ2x2k,kZ2 x=2k,kZ 2.作用 求最值;确定单调区间;比较大小.【思考】从图象的变化趋势来看,正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置?提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的地方.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错
2、的打“”)(1)y=sin x在(0,)上是增函数.()(2)cos 1cos 2cos 3.()(3)函数y=-sin x,x 的最大值为0.()120,22.下列函数中,周期为,且在 上为减函数的是()A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 【解析】选A.因为函数的周期为,所以排除C,D.又因为y=cos =-sin 2x在 上为增函数,故B不符.只有函数y=sin 的周期为,且在 上为减函数.,4 2(2x)2(2x)2(x)2(x)2(2x)2,4 2(2x)2,4 2 3.(教材二次开发:练习改编)函数y=|sin x|+sin x的值域为()A.-1,1 B
3、.-2,2 C.-2,0 D.0,2【解析】选D.因为y=|sin x|+sin x 又因为-1sin x1,所以y0,2,即函数的值域为0,2.关键能力合作学习 类型一 正弦函数、余弦函数的单调性(逻辑推理、数学运算)【典例】已知f(x)=-2sin ,求函数f(x)的单调递增区间.【思路导引】先将函数表达式化简得到f(x)=2sin ,由-+2k 2x-+2k,kZ,解得x的范围.(2x)6(2x)6262【解题策略】求形如y=Asin(x+)+b或形如y=Acos(x+)+b(其中A0,b为常数)的函数的单调区间(1)数形结合法:可以借助于正弦函数、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间,通
4、过解不等式求得.(2)整体代换法:要把 x+看作一个整体,若 0,0时,将“x+”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.【跟踪训练】求函数f(x)=2sin +1的单调递减区间.【解析】对于函数f(x)=2sin +1,当2k+x+2k+(kZ)时,f(x)单调递减,解得4k+x4k+(kZ),所以函数f(x)的单调递减区间是 (x)24(x)24224321252154k,4k kZ.22类型二 利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小(逻辑推理、数学运算)【题组训练】比较下列各组数的大小.(1)si
5、n 与sin (2)sin 196与cos 156.(3)cos 与cos ()18().1023()5 17().4【解题策略】三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到 内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到 内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.32 222 ，或，00，或，【补偿训练】(2020济南高一检测)设a=cos ,b=sin ,c=cos ,则()A.acb B.cba C.cab D.bca【解析】选A.因为 ,且y=cos x在 上是单调递减函数,
6、所以acb.124167441557bsinsin()sinsincosccoscos66666344，3412(0,)2类型三 正弦函数、余弦函数的最值问题(数学运算)角度1 形如y=Asin(x+)+k或 y=Acos(x+)+k型最值问题【典例】已知x ,求函数y=2cos +1的值域.【思路导引】根据x 的范围,逐步求出2x+的范围,再根据余弦函数的单调性,求出函数的值域.(,)6 6(2x)33 角度2 形如y=Asin2 x+Bsin x+C或y=Acos2 x+Bcos x+C型最值问题 【典例】函数y=cos2 x+2sin x-2,xR的值域为_.【思路导引】先用平方关系转化
7、,即cos2x=1-sin2x,再将sin x看作整体,转化为二次函数的值域问题.【解题策略】1.求三角函数值域或最值的常用方法.(1)可化为单一函数y=Asin(x+)+k或y=Acos(x+)+k的最大值为|A|+k,最小值为-|A|+k(其中A,k为常数,A0,0).(2)可化为y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C(A0)的最大、最小值,可利用二次函数在区间-1,1上的最大、最小值的求法来求.(换元法)2.形如y=sin(x+)的值域问题,令t=x+,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t的最值(值域).
8、【题组训练】1.设|x|,函数f(x)=cos2x+sin x的最小值是_.【解析】函数f(x)=cos2x+sin x=因为|x|,所以sin x 当sin x=-时,函数取得最小值 .答案:4215(sin x24），422,22221221222.已知函数y=a-bcos (b0)的最大值为 ,最小值为-.(1)求a,b的值.(2)求函数g(x)=的最小值并求出对应x的集合.(x)632124asin(bx)31.函数f(x)=sin 的单调递减区间是()课堂检测素养达标 2A.(k,k),kZ63511B.(k,k),kZ121227C.(k,k),kZ365D.(k,k),kZ121
9、2 (2x)32.y=2sin 的值域是()A.-2,2 B.0,2 C.-2,0 D.-1,1【解析】选A.因为sin -1,1,所以y-2,2.(3x)3(3x)33.(教材二次开发:例题改编)用不等号填空:sin _cos .【解析】由题意得,因为 0,所以sin sin ,即sin cos .答案:17814917sinsin(2)sin888，1455coscos()coscos()sin99921818 ，28188181781494.已知0 0时,sin xx,因为0 ,所以sin cos,令x=cos,所以cos sin(cos).答案:cos(sin)cos sin(cos)22
