1、福建省漳州市2019-2020学年学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共5页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个
2、选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题.2.的值是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【详解】解：，故选C【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键3.下列各函数的值域与函数的值域相同的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出下列函数的值域，即可判断.【详解】函数的值域为，则A，B错误；函数的值域为，则
3、C错误；函数的值域为，则D正确；故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的值域，属于基础题.4.已知函数则（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】分别计算，即可得出答案.【详解】，所以故选：B【点睛】本题主要考查了已知自变量求分段函数的函数值，属于基础题.5.函数图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断函数函数为奇函数，排除BD选项，取特殊值排除C，即可得出答案.【详解】所以函数为奇函数，故排除BD.，排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于基础题.6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出
4、，的大概范围，比较即可.【详解】因为，所以.故选：【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.7.已知以原点为圆心的单位圆上有一质点，它从初始位置开始，按逆时针方向以角速度做圆周运动.则点的纵坐标关于时间的函数关系为A. B. C. D. 【答案】A【解析】当时间为t时，点P所在角的终边对应的角等于,所以点的纵坐标关于时间的函数关系为.8.已知函数为定义在的增函数，且满足.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将题设不等式转化为，根据函数的单调性解不等式得出，通过换元法，构
5、造函数，求出最大值，即可得到实数的取值范围.【详解】因为，所以在恒成立故在恒成立，即在恒成立令，则所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以故选：D【点睛】利用函数的单调性解抽象不等式以及不等式的恒成立问题，属于中档题.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.设，则使函数的定义域是，且为奇函数的值可以是（ ）A. B. C. 1D. 3【答案】CD【解析】【分析】求出对应值函数的定义域，利用奇偶性的定义判断即可.【详解】当的值为时，函数的定义域分别为，当时，函数的定义域为，令
6、，则函数为上的奇函数当时，函数的定义域为，令，则函数为上的奇函数故选：CD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，属于基础题.10.要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（ ）A. 向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍B. 向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍C. 横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度【答案】AD【解析】【分析】由正弦函数的伸缩变换以及平移变换一一判断选项即可.【详解】将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到函数的图象，再把所得各点的横坐标缩
7、短到原来的倍，得到的图象，故A正确；将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到函数的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，故B错误；将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，再把所得各点向右平行移动个单位长度，得到的图象，故C错误；将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，得到的图象，再把所得各点向右平行移动个单位长度，得到的图象，故D正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了正弦函数的伸缩变换以及平移变换，属于基础题.11.对于函数，下列结论正确的是（ ）A. 为偶函数B. 的一个周期为C. 的值域为D. 在单调递增【答案】ABC【解析】【分析】利用奇偶性
8、的定义以及周期的定义判断A，B选项；利用换元法以及正弦函数的单调性判断C选项；利用复合函数的单调性判断方法判断D选项.【详解】函数的定义域为，关于原点对称，则函数偶函数，故A正确；，则函数的一个周期为，故B正确；令，则，由于函数上单调递增，则，故C正确；当时，函数为减函数，由于，则函数在上为增函数，所以函数在单调递减，故D错误；故选：ABC【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，周期性，求函数值域，复合函数的单调性，属于中档题.12.已知为上的奇函数，且当时，.记，下列结论正确的是（ ）A. 为奇函数B. 若的一个零点为，且，则C. 在区间的零点个数为3个D. 若大于1的零点从小到大依次为，则
9、【答案】ABD【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断A选项；将等价变形为，结合的奇偶性判断B选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数的奇偶性判断C选项，结合图象，得出的范围，由不等式的性质得出的范围.【详解】由题意可知的定义域为，关于原点对称因为，所以函数为奇函数，故A正确；假设，即时，所以当时，当时，当，则由于的一个零点为， 则，故B正确；当时，令，则大于的零点为的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；由图可知，大于1的零点所以故选：ABD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的
10、零点个数，属于较难题.三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13.函数（且）的图象恒过点_【答案】【解析】分析：根据指数函数过可得结果.详解：由指数函数的性质可得过，所以过，故答案为.点睛：本题主要考查指数函数的简单性质，属于简单题.14.已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为_；【答案】【解析】【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，根据扇形弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径为由扇形的面积公式得：，解得该扇形的弧长为故答案为：【点睛】本题主要考查了扇形面积公式以及弧长公式，属于基础题.15.函数在区间上的值域为_；【答案】【解析】【分析】由的范围，确定的范围，利用换元法以及正
11、弦函数的单调性，即可得出答案.【详解】，令，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在区间上的值域为故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦型函数的值域，属于中档题.16.已知函数，则函数图象的对称中心为_，函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为_.【答案】 (1). (2). 0【解析】【分析】判断函数，为奇函数，即可得出函数，图象的对称中心都为原点；根据对称性即可得出所有交点的横坐标与纵坐标之和.【详解】，则函数为奇函数，即函数图象的对称中心为，则函数为奇函数，即函数的对称中心为所以函数的图象与函数的图象所有交点都关于原点对称即所有交点的横坐标之和为0，纵坐标之和也为0则函数的
12、图象与函数的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为0故答案为：；【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用以及对称性的应用，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知为锐角，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）-7（2）【解析】【分析】（1）利用平方关系以及商数关系得出，再利用两角和的正切公式求解即可；（2）利用诱导公式以及二倍角的正弦公式求解即可.【详解】解：（1）因为为锐角，且.所以， 所以， 所以. （2）因为， ， 所以 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式，二倍角的正弦公式，属于中档题.18.已知集合，.（1）求
13、；（2）集合，若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指数函数以及正弦函数的性质化简集合，再求并集即可；（2）由题设条件得出，分别讨论集合和的情况，即可得出答案.【详解】解：（1）依题意， ， 所以. （2）因为，所以. 当时，满足题意； 当时，因为，得，所以； 综上，.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算以及根据集合间的包含关系求参数范围，属于中档题.19.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调区间.【答案】（1）最小正周期为.（2）单调递增区间为，的单调递减区间为.【解析】【分析】利用倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据周期公式得出第一问；根据正弦函数的单调
14、增区间和减区间求的单调区间，即可得出第二问.【详解】解：因为 （1）所以函数的最小正周期为. （2）由， 得，即， 所以的单调递增区间为， 同理可得，的单调递减区间为.【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最小正周期以及单调区间，属于中档题.20.已知是定义在上的奇函数.（1）求与的值；（2）判断的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）若时，试比较与的大小.【答案】（1）. .（2）在单调递增.见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得出，求解方程，即可得出与的值；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）分别讨论的取值使得，结合函数的单调性，即可得出与的大小.【详解】解：（1
15、）因为是定义在上的奇函数，所以，得. 又由，得到，解得. （2）由（1）可知，在上为增函数. 证明如下：任取且设， 所以 由于且，所以，且，又，所以，所以，从而在单调递增. （3）当或时，所以； 当或时，又因为，且在上为增函数，所以当时，同理可得；综上，当或时，；当时，；当时，.【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求参数，判断函数的单调性以及利用单调性比较函数值大小，属于中档题.21.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻水深/米时刻水深/
16、米时刻水深/米0：004.259：001.7518：004.253：006.7512：004.2521：001.756：004.2515：006.7524：00425（1）设港口在时刻的水深为米，现给出两个函数模型：和.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出时，港口的水深.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？【答案】（1）选择函数模型更适合. 水深为3米 （2）货船可以在1时
17、进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.一天内货船可以在港口呆的时间为8小时.【解析】【分析】（1）观察表格中水深的变化具有周期性，则选择函数模型更适合，由表格数据得出的值，将代入解析式求解即可；（2）由题意时，船可以进港，解不等式，得出的范围，由的范围即可确定进港，出港，一天内在港口呆的时间.【详解】解：（1）选择函数模型更适合因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知因为，所以， 所以，因为时，代入上式得，因为，所以，所以.当时，所以在时，港口的水深为3米（2）因为货船需要的安全水深是米， 所以时，船可以进港，令，则， 因为，解得或， 所以货船可以在1时进入港
18、口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港. 因为，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时.【点睛】本题主要考查了三角函数在生活中的应用，属于中档题.22.已知函数，且.（1）求解析式；（2）已知的定义域为.（）求的定义域；（）若方程有唯一实根，求实数取值范围.【答案】（1）（2）（）.（）【解析】【分析】（1）利用换元法以及，即可求解的解析式；（2）（）解不等式，即可得出的定义域；（）根据，的定义域得出，结合函数的解析式将方程化为，利用换元法得出，讨论的值，结合二次函数的性质即可得出实数的取值范围.【详解】解：（1）令，则，所以， 因为，所以， 所以 （2）（）因为的定义域为，所以，解得， 所以的定义域为. （）因为，所以在恒成立，因为在单调递减，所以最大值为1，所以. 又因为，所以，化简得， 令，则在有唯一实数根，令，当时，令，则，所以，得符合题意，所以； 当时，所以只需，解得，因为，所以此时无解；综上，.【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，属于较难题.
