1、1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0,0),xR振幅周期频率相位初相AT2f1T2x2.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示:x0232 2x02322yAsin(x)0A0A03.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)(A0,0)的图象的步骤如下:【知识拓展】1由 ysin x 到 ysin(x)(0,0)的变换:向左平移个单位长度而非 个单位长度2函数 yAsin(x)的对称轴由 xk2,kZ 确定;对称中心由 xk,kZ确定其横坐标【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysinx4 的图象是由 y
2、sinx4 的图象向右平移2个单位得到的()(2)将函数 ysin x 的图象向右平移(0)个单位长度,得到函数 ysin(x)的图象()(3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致()(4)函数 yAsin(x)的最小正周期为 T2.()(5)把 ysin x 的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,所得图象对应的函数解析式为 ysin 12x.()(6)若函数 yAcos(x)的最小正周期为 T,则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()1(教材改编)y2sin(12x3)的振幅,频率和初相分别为()A2,4,3B2,14,3C2,14,3
3、D2,4,3答案 C解析 由题意知 A2,f1T2 14,初相为3.2(2015山东)要得到函数 ysin4x3 的图象,只需将函数 ysin 4x 的图象()A向左平移 12个单位B向右平移 12个单位C向左平移3个单位D向右平移3个单位答案 B解析 ysin4x3 sin4x 12,要得到 ysin4x3 的图象,只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位3(2017青岛质检)将函数 ysin x 的图象上所有的点向右平行移动 10个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是()Aysin(2x 10)Bysin(2x5)Cysin
4、(12x 10)Dysin(12x 20)答案 C解析 ysin x10右移个单位ysin(x 10)横坐标伸长到原来的2倍 ysin(12x 10)4若函数 ysin(x)(0)的部分图象如图所示,则 等于()A5 B4C3 D2答案 B解析 由函数图象知 T422,2T 224.5若将函数 f(x)sin(2x4)的图象向右平移 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 的最小正值是_答案 38解析 函数 f(x)sin(2x4)的图象向右平移 个单位得到 g(x)sin2(x)4sin(2x42),又g(x)是偶函数,42k2(kZ),k2 8(kZ)当 k1 时,取得最小正值38.题型一
5、函数 yAsin(x)的图象及变换例 1(2015湖北)某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x)0,|0)个单位长度,得到 yg(x)的图象若 yg(x)图象的一个对称中心为512,0,求 的最小值解(1)根据表中已知数据,解得 A5,2,6.数据补全如下表:x02322x123712561312Asin(x)05050且函数解析式为 f(x)5sin2x6.(2)由(1)知 f(x)5sin2x6,得 g(x)5sin2x26.因为函数 ysin x 图象的对称中心为(k,0),kZ.令 2x26k,解得 xk2 12,kZ.由于函数 yg(x)的图象关于点512,0 成中心对称,所
6、以令k2 12512,解得 k2 3,kZ.由 0 可知,当 k1 时,取得最小值6.引申探究在本例(2)中,将 f(x)图象上所有点向左平移6个单位长度,得到 g(x)的图象,求 g(x)的解析式,并写出 g(x)图象的对称中心解 由(1)知 f(x)5sin(2x6),因此 g(x)5sin2(x6)65sin(2x6)因为 ysin x 的对称中心为(k,0),kZ.令 2x6k,kZ,解得 xk2 12,kZ.即 yg(x)图象的对称中心为(k2 12,0),kZ.思维升华(1)五点法作简图:用“五点法”作 yAsin(x)的简图,主要是通过变量代换,设 zx,由 z 取 0,2,32
7、,2 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象(2)图象变换:由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”把函数 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把所得函数图象向左平移4个单位,得到的函数图象的解析式是()Aycos 2xBysin 2xCysin(2x4)Dysin(2x4)答案 A解析 由 ysin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图象的解析式为 ysin 2x,再向左平移4个单位得 ysin2(x4),即 ycos 2x.题型二
8、 由图象确定 yAsin(x)的解析式例 2 已知函数 f(x)Asin(x)(A0,|0)的图象的一部分如图所示(1)求 f(x)的表达式;(2)试写出 f(x)的对称轴方程解(1)观察图象可知 A2 且点(0,1)在图象上,12sin(0),即 sin 12.|0,0)解析式的步骤(1)求 A,B,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 AMm2,BMm2.(2)求,确定函数的周期 T,则 2T.(3)求,常用方法如下:代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法:确定 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如
9、下:“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 x0;“第二点”(即图象的“峰点”)为 x2;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 x;“第四点”(即图象的“谷点”)为 x32;“第五点”为 x2.(2016太原模拟)已知函数 f(x)sin(x)(0,|2)的部分图象如图所示,则yf(x6)取得最小值时 x 的集合为()Ax|xk6,kZBx|xk3,kZCx|x2k6,kZDx|x2k3,kZ答案 B解析 根据所给图象,周期 T4(7123),故 2,2,因此 f(x)sin(2x),另外图象经过点(712,0),代入有 2712k(kZ),再由|2,得 6,f(x6)sin(2
10、x6),当 2x622k(kZ),即 x3k(kZ)时,yf(x6)取得最小值题型三 三角函数图象性质的应用命题点 1 三角函数模型的应用例 3(2015陕西)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6xk,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A5 B6C8 D10答案 C解析 由题干图易得 ymink32,则 k5.ymaxk38.命题点 2 函数零点(方程根)问题例 4 已知关于 x 的方程 2sin2x 3sin 2xm10 在2,上有两个不同的实数根,则 m的取值范围是_答案(2,1)解析 方程 2sin2x 3sin 2xm10 可转
11、化为m12sin2x 3sin 2xcos 2x 3sin 2x2sin2x6,x2,.设 2x6t,则 t76,136 ,题目条件可转化为m2sin t,t76,136 有两个不同的实数根ym2和 ysin t,t76,136 的图象有两个不同交点,如图:由图象观察知,m2的范围为(1,12),故 m 的取值范围是(2,1)引申探究例 4 中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则 m 的取值范围是_答案 2,1)解析 由例 4 知,m2的范围是1,12,2m0,22)的图象关于直线 x3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求 和 的值;(2)当 x0,2时,求函数 yf(x)
12、的最大值和最小值解(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以 f(x)的最小正周期 T,从而 2T2.又因为 f(x)的图象关于直线 x3对称,所以 23k2,kZ,由20),xR.在曲线 yf(x)与直线 y1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为3,则 f(x)的最小正周期为()A.2B.23C D2答案 C解析 f(x)3sin xcos x2sin(x6)(0)由 2sin(x6)1,得 sin(x6)12,x62k6或 x62k56(kZ)令 k0,得 x166,x2656,x10,x223.由|x1x2|3,得233,2.故 f(x)的最小正周期 T22.4函数 f(x
13、)sin(x)(xR,0,|2)的部分图象如图所示,如果 x1,x2(6,3)且f(x1)f(x2),则 f(x1x2)等于()A.12B.32C.22D1答案 B解析 观察图象可知,A1,T,2,f(x)sin(2x)将(6,0)代入上式得 sin(3)0,由|0,0,00,0)的图象过点 P(12,0),图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q(3,5)(1)求函数的解析式;(2)求函数 f(x)的递增区间解(1)依题意得 A5,周期 T4(3 12),2 2.故 y5sin(2x),又图象过点 P(12,0),5sin(6)0,由已知可得60,6,y5sin(2x6)(2)由22k2x62
14、2k,kZ,得6kx3k,kZ,故函数 f(x)的递增区间为k6,k3(kZ)12已知函数 f(x)3cos2xsin xcos x 32.(1)求函数 f(x)的最小正周期 T 和函数 f(x)的单调递增区间;(2)若函数 f(x)的对称中心为(x,0),求 x0,2)的所有 x 的和解(1)由题意得 f(x)sin(2x3),T22,令22k2x322k,kZ.可得函数 f(x)的单调递增区间为512k,12k,kZ.(2)令 2x3k,kZ,可得 x6k2,kZ.x0,2),k 可取 1,2,3,4.所有满足条件的 x 的和为26 56 86 116 133.*13.(2016潍坊模拟)函数 f(x)Asin(x)(A0,0,02)的部分图象如图所示(1)求 f(x)的解析式;(2)设 g(x)f(x 12)2,求函数 g(x)在 x6,3上的最大值,并确定此时 x 的值解(1)由题图知 A2,T43,则243,32.又 f(6)2sin32(6)2sin(4)0,sin(4)0,02,444,40,即 4,f(x)的解析式为 f(x)2sin(32x4)(2)由(1)可得f(x 12)2sin32(x 12)42sin(32x8),g(x)f(x 12)241cos3x4222cos(3x4),x6,3,43x454,当 3x4,即 x4时,g(x)max4.