1、1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，xR振幅周期频率相位初相AT2f1T2x2.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0232 2x02322yAsin(x)0A0A03.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1由 ysin x 到 ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非 个单位长度2函数 yAsin(x)的对称轴由 xk2，kZ 确定；对称中心由 xk，kZ确定其横坐标【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysinx4 的图象是由 y
2、sinx4 的图象向右平移2个单位得到的()(2)将函数 ysin x 的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数 ysin(x)的图象()(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(4)函数 yAsin(x)的最小正周期为 T2.()(5)把 ysin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为 ysin 12x.()(6)若函数 yAcos(x)的最小正周期为 T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()1(教材改编)y2sin(12x3)的振幅，频率和初相分别为()A2,4，3B2，14，3C2，14，3
3、D2,4，3答案 C解析 由题意知 A2，f1T2 14，初相为3.2(2015山东)要得到函数 ysin4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象()A向左平移 12个单位B向右平移 12个单位C向左平移3个单位D向右平移3个单位答案 B解析 ysin4x3 sin4x 12，要得到 ysin4x3 的图象，只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移 12个单位3(2017青岛质检)将函数 ysin x 的图象上所有的点向右平行移动 10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()Aysin(2x 10)Bysin(2x5)Cysin
4、(12x 10)Dysin(12x 20)答案 C解析 ysin x10右移个单位ysin(x 10)横坐标伸长到原来的2倍 ysin(12x 10)4若函数 ysin(x)(0)的部分图象如图所示，则 等于()A5 B4C3 D2答案 B解析 由函数图象知 T422，2T 224.5若将函数 f(x)sin(2x4)的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是_答案 38解析 函数 f(x)sin(2x4)的图象向右平移 个单位得到 g(x)sin2(x)4sin(2x42)，又g(x)是偶函数，42k2(kZ)，k2 8(kZ)当 k1 时，取得最小正值38.题型一
5、函数 yAsin(x)的图象及变换例 1(2015湖北)某同学用“五点法”画函数 f(x)Asin(x)0，|0)个单位长度，得到 yg(x)的图象若 yg(x)图象的一个对称中心为512，0，求 的最小值解(1)根据表中已知数据，解得 A5，2，6.数据补全如下表：x02322x123712561312Asin(x)05050且函数解析式为 f(x)5sin2x6.(2)由(1)知 f(x)5sin2x6，得 g(x)5sin2x26.因为函数 ysin x 图象的对称中心为(k，0)，kZ.令 2x26k，解得 xk2 12，kZ.由于函数 yg(x)的图象关于点512，0 成中心对称，所
6、以令k2 12512，解得 k2 3，kZ.由 0 可知，当 k1 时，取得最小值6.引申探究在本例(2)中，将 f(x)图象上所有点向左平移6个单位长度，得到 g(x)的图象，求 g(x)的解析式，并写出 g(x)图象的对称中心解 由(1)知 f(x)5sin(2x6)，因此 g(x)5sin2(x6)65sin(2x6)因为 ysin x 的对称中心为(k，0)，kZ.令 2x6k，kZ，解得 xk2 12，kZ.即 yg(x)图象的对称中心为(k2 12，0)，kZ.思维升华(1)五点法作简图：用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设 zx，由 z 取 0，2，32
7、，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换：由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”把函数 ysin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移4个单位，得到的函数图象的解析式是()Aycos 2xBysin 2xCysin(2x4)Dysin(2x4)答案 A解析 由 ysin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为 ysin 2x，再向左平移4个单位得 ysin2(x4)，即 ycos 2x.题型二
8、 由图象确定 yAsin(x)的解析式例 2 已知函数 f(x)Asin(x)(A0，|0)的图象的一部分如图所示(1)求 f(x)的表达式；(2)试写出 f(x)的对称轴方程解(1)观察图象可知 A2 且点(0,1)在图象上，12sin(0)，即 sin 12.|0，0)解析式的步骤(1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm2，BMm2.(2)求，确定函数的周期 T，则 2T.(3)求，常用方法如下：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如
9、下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为 x2；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 x；“第四点”(即图象的“谷点”)为 x32；“第五点”为 x2.(2016太原模拟)已知函数 f(x)sin(x)(0，|2)的部分图象如图所示，则yf(x6)取得最小值时 x 的集合为()Ax|xk6，kZBx|xk3，kZCx|x2k6，kZDx|x2k3，kZ答案 B解析 根据所给图象，周期 T4(7123)，故 2，2，因此 f(x)sin(2x)，另外图象经过点(712，0)，代入有 2712k(kZ)，再由|2，得 6，f(x6)sin(2
10、x6)，当 2x622k(kZ)，即 x3k(kZ)时，yf(x6)取得最小值题型三 三角函数图象性质的应用命题点 1 三角函数模型的应用例 3(2015陕西)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y3sin6xk，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6C8 D10答案 C解析 由题干图易得 ymink32，则 k5.ymaxk38.命题点 2 函数零点(方程根)问题例 4 已知关于 x 的方程 2sin2x 3sin 2xm10 在2，上有两个不同的实数根，则 m的取值范围是_答案(2，1)解析 方程 2sin2x 3sin 2xm10 可转
11、化为m12sin2x 3sin 2xcos 2x 3sin 2x2sin2x6，x2，.设 2x6t，则 t76，136 ，题目条件可转化为m2sin t，t76，136 有两个不同的实数根ym2和 ysin t，t76，136 的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的范围为(1，12)，故 m 的取值范围是(2，1)引申探究例 4 中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则 m 的取值范围是_答案 2,1)解析 由例 4 知，m2的范围是1，12，2m0，22)的图象关于直线 x3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求 和 的值；(2)当 x0，2时，求函数 yf(x)
12、的最大值和最小值解(1)因为 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以 f(x)的最小正周期 T，从而 2T2.又因为 f(x)的图象关于直线 x3对称，所以 23k2，kZ，由20)，xR.在曲线 yf(x)与直线 y1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为3，则 f(x)的最小正周期为()A.2B.23C D2答案 C解析 f(x)3sin xcos x2sin(x6)(0)由 2sin(x6)1，得 sin(x6)12，x62k6或 x62k56(kZ)令 k0，得 x166，x2656，x10，x223.由|x1x2|3，得233，2.故 f(x)的最小正周期 T22.4函数 f(x
13、)sin(x)(xR，0，|2)的部分图象如图所示，如果 x1，x2(6，3)且f(x1)f(x2)，则 f(x1x2)等于()A.12B.32C.22D1答案 B解析 观察图象可知，A1，T，2，f(x)sin(2x)将(6，0)代入上式得 sin(3)0，由|0，0,00，0)的图象过点 P(12，0)，图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q(3，5)(1)求函数的解析式；(2)求函数 f(x)的递增区间解(1)依题意得 A5，周期 T4(3 12)，2 2.故 y5sin(2x)，又图象过点 P(12，0)，5sin(6)0，由已知可得60，6，y5sin(2x6)(2)由22k2x62
14、2k，kZ，得6kx3k，kZ，故函数 f(x)的递增区间为k6，k3(kZ)12已知函数 f(x)3cos2xsin xcos x 32.(1)求函数 f(x)的最小正周期 T 和函数 f(x)的单调递增区间；(2)若函数 f(x)的对称中心为(x,0)，求 x0,2)的所有 x 的和解(1)由题意得 f(x)sin(2x3)，T22，令22k2x322k，kZ.可得函数 f(x)的单调递增区间为512k，12k，kZ.(2)令 2x3k，kZ，可得 x6k2，kZ.x0,2)，k 可取 1,2,3,4.所有满足条件的 x 的和为26 56 86 116 133.*13.(2016潍坊模拟)函数 f(x)Asin(x)(A0，0,02)的部分图象如图所示(1)求 f(x)的解析式；(2)设 g(x)f(x 12)2，求函数 g(x)在 x6，3上的最大值，并确定此时 x 的值解(1)由题图知 A2，T43，则243，32.又 f(6)2sin32(6)2sin(4)0，sin(4)0，02，444，40，即 4，f(x)的解析式为 f(x)2sin(32x4)(2)由(1)可得f(x 12)2sin32(x 12)42sin(32x8)，g(x)f(x 12)241cos3x4222cos(3x4)，x6，3，43x454，当 3x4，即 x4时，g(x)max4.