1、第一章单元质量评估(一)第卷(选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1函数f(x)sinx的导数为(C)Af(x)2sinxcosxBf(x)2sinxcosxCf(x)cosxDf(x)cosx解析:f(x)()sinx(sinx)sinxcosx,故选C.2若曲线yx2axb在点(0,b)处的切线方程是xy10,则(A)Aa1,b1 Ba1,b1Ca1,b1 Da1,b1解析:y2xa,曲线yx2axb在(0,b)处的切线方程的斜率为a,切线方程为ybax,即axyb0.a1,b1.3设f(x)xlnx,若f(x0)2,则x0(B)Ae2 BeC. Dln2解析:f(x)(x
2、lnx)lnx1,f(x0)lnx012,x0e.4已知f(x)x22xf(1),则f(0)等于(B)A0 B4C2 D2解析:f(x)2x2f(1),f(1)22f(1),即f(1)2,f(x)2x4,f(0)4.5曲线y在点M处的切线的斜率为(B)A B.C D.解析:因为y,所以y|x,故曲线在点M处的切线的斜率为.6如图是函数yf(x)的导函数的图象,给出下面四个判断:f(x)在区间2,1上是增函数;x1是f(x)的极小值点;f(x)在区间1,2上是增函数,在区间2,4上是减函数;x2是f(x)的极小值点其中,所有正确判断的序号是(B)A BC D解析:由函数yf(x)的导函数的图象可
3、知:(1)f(x)在区间2,1上是减函数,在1,2上是增函数,在2,4上是减函数;(2)f(x)在x1处取得极小值,在x2处取得极大值故正确7对任意的xR,函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是(A)A0a21 Ba0或a7Ca21 Da0或a21解析:f(x)3x22ax7a,当4a284a0,即0a21时,f(x)0恒成立,函数不存在极值点故选A.8某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q8 300170PP2,则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)(D)A30元 B60元C
4、28 000元 D23 000元解析:设毛利润为L(P),由题意知L(P)PQ20QQ(P20)(8 300170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000,所以L(P)3P2300P11 700,令L(P)0,解得P30或P130(舍去)此时,L(30)23 000.根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元9函数f(x)(ab1),则(C)Af(a)f(b)Bf(a)f(b)Df(a),f(b)大小关系不能确定解析:f(x),当x1时,f(x)0,即f(x)在区间(,1)上单调递减,又abf(b)10函数f(x)x3x2
5、x2的零点个数及分布情况为(A)A一个零点,在内B二个零点,分别在,(0,)内C三个零点,分别在,(1,)内D三个零点,分别在,(0,1),(1,)内解析:利用导数法易得函数f(x)在内单调递减,在内单调递增,在(1,)内单调递减,而f0,f(1)10,故函数f(x)的图象与x轴仅有一个交点,且交点横坐标在内,故选A.11对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f(x)0,则必有(C)Af(0)f(2)2f(1)解析:当1x2时,f(x)0,则f(2)f(1);而当0x1时,f(x)0,则f(1)f(0),从而f(0)f(2)2f(1)12设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)
6、f(x),对任意的正数a,下面不等式恒成立的是(B)Af(a)eaf(0)Cf(a)解析:构造函数g(x),则g(x)0,故函数g(x)在R上单调递增,所以g(a)g(0),即,即f(a)eaf(0)第卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13过点(2,0)且与曲线y相切的直线的方程为xy20.解析:设所求切线与曲线的切点为P(x0,y0),y,yxx0,所求切线的方程为yy0(xx0)点(2,0)在切线上,0y0(2x0),xy02x0.又x0y01,由解得所求直线方程为xy20.14设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为(1
7、,1)解析:yex,曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1.又曲线y(x0)上点P处的切线与曲线yex在点(0,1)处的切线垂直,曲线y(x0)在点P处的切线的斜率为1,设P(a,b),yx2,曲线y(x0)上点P处的切线的斜率为y|xaa21,解得a1,又P(a,b)在曲线y上,b1,故点P的坐标为(1,1)15设函数f(x)xmax的导数为f(x)2x1,则数列(nN)的前n项和是.解析:f(x)mxm1a2x1,得则f(x)x2x,其和为1.16已知函数f(x)mx2lnx2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为1,)解析:根据题意,知f(x)mx20对一切x0恒成立,m2,令g
8、(x)221,则当1时,函数g(x)取得最大值1,故m1.三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17(10分)设函数f(x)x32mx2m2x1m(其中m2)的图象在x2处的切线与直线y5x12平行(1)求m的值;(2)求函数f(x)在区间0,1上的最小值解:(1)因为f(x)3x24mxm2,所以f(2)128mm25,解得m1或m7(舍去),即m1.(2)令f(x)3x24x10,解得x11,x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x01f(x)f(x)22所以函数f(x)在区间0,1上的最小值为f.18(12分)已知函数f(x)kx33(k1)x2k
9、21(k0),若f(x)的单调递减区间是(0,4),(1)求k的值;(2)当k3.解:(1)f(x)3kx26(k1)x,由f(x)0得0x1时,1,g(x)0,g(x)在x1,)上单调递增x1时,g(x)g(1),即23,23.19(12分)已知函数f(x)kx33x21(k0)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的极小值大于0,求k的取值范围解:(1)当k0时,f(x)3x21,f(x)的单调增区间为(,0),单调减区间为0,)当k0时,f(x)3kx26x3kx,f(x)的单调增区间为(,0),单调减区间为.(2)当k0时,函数f(x)不存在极小值,当k0时,依题意得f1
10、0,即k24,所以k的取值范围为(2,)20(12分)湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,从而扩大内需,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x(x10)万元之间满足:yf(x)ax2xbln,a,b为常数,当x10时,y19.2;当x20时,y35.7.(参考数据:ln20.7,ln31.1,ln51.6)(1)求f(x)的解析式;(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值(利润旅游收入投入)解:(1)由条件得解得a,b1,则f(x)xln(x10)(2)由题意知T(x)f(x)xxln(x10),则T(x),令T(x)0,则x1(舍去)或
11、x50.当x(10,50)时,T(x)0,T(x)在(10,50)上是增函数;当x(50,)时,T(x)0,T(x)在(50,)上是减函数,x50为T(x)的极大值点,又T(50)24.4.故该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元21(12分)已知函数f(x)x3x2cxd有极值(1)求c的取值范围;(2)若f(x)在x2处取得极值,且当x0时,f(x)0,c0,函数单调递增,当x(1,2时,f(x)0,函数单调递减x0时,f(x)在x1处取得最大值d,x0时,f(x)d22d恒成立,d0,d1,即d的取值范围是(,7)(1,)22(12分)设a为实数,函数f(x)ex2x2a
12、,xR.(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当aln21且x0时,exx22ax1.解:(1)f(x)ex2,xR.令f(x)0,得xln2.于是,当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表:x(,ln2)ln2(ln2,)f(x)0f(x)单调递减22ln22a单调递增故f(x)的单调递减区间是(,ln2),单调递增区间是(ln2,),f(x)在xln2处取得极小值,极小值为f(ln2)22ln22a.(2)证明:设g(x)exx22ax1,xR,于是g(x)ex2x2a,xR.由(1)及aln21知,对任意xR,都有g(x)g(ln2)22ln22a0,所以g(x)在R内单调递增于是,当aln21时,对任意x(0,),都有g(x)g(0),而g(0)0,从而对任意x(0,),都有g(x)0,即exx22ax10,故exx22ax1.