1、专题一考前题型训练“短、平、快”高考试卷虽然是选拔性的试卷，但是试卷中仍然有相当部分的送分题所谓送分题是指知识点基础，数据计算量小，解题方法基本的试题这部分试题往往因为简单，导致许多考生思想重视不够，从而失分，特别是一些数学成绩优秀的考生更是如此笔者以多年送考的经验告诉大家，只要处理好以下几个方面的问题，即可达到“送分题，一分不丢”的效果，使考生能在高考考场上取得开门红，增强考试的信心问题一使用概念要明确例1(2014宜昌模拟)已知复数z(a21)(a1)i(aR)是纯虚数，则a()A0 B1 C1 D1尝试解答易错分析本题易混淆复数的有关概念，忽视虚部不为零的限制条件解答由题意得解得a1.答
2、案C利用复数的有关概念解题时，一定要过好审题关，仔细辨析试题中的待求问题；在准确用好概念的前提下对试题进行解答，这样才能避免应用概念出错如本题，若能搞清复数z为纯虚数的概念，只需令复数z的实部为零，虚部不为零，从而把求参数问题转化为求方程组解的问题，即可避开概念的陷阱例2(2014威海模拟)已知：p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_尝试解答易错分析本题的易错点是对充要条件的概念把握不清，判断错误，并且不会将充要条件进行转化解答p：2x32,1x5.p：x5.易得q：m1xm1，q：xm1.又p是q的充分不必要条件，2m4.答案2m4对充要
3、条件的判定需注意：(1)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确与否不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明(2)要注意转化：如果p是q的充分不必要条件，那么p是q的必要不充分条件同理，如果p是q的必要不充分条件，那么p是q的充分不必要条件；如果p是q的充要条件，那么p是q的充要条件问题二思考问题要严谨例3已知数列an中ann2kn(nN*)，且an单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，3)C(，2) D(，3尝试解答易错分析认为an是关于n的二次函数，定义域为整数集，又an递增，则必有1，即k2，思维不严谨导致解题错误解答an1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k，由于
4、an单调递增，故应有an1an0，即2n1k0恒成立，分离变量得k2n1，故只需kan，则数列为递增数列；若an1an，则数列为递减数列例4(2014台州模拟)f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是()A(1，) B4,8)C(4,8) D(1,8)尝试解答易错分析认为函数f(x)在R上单调递增，只需在定义域的两段上均为增函数即可，而忽视函数在两段区间的分界点处函数值的大小，因思维不严谨致错解答f(x)在R上单调递增，则有解得：4a0时，S31q123(当且仅当q1时，等号成立)；当公比q0时，S31121(当且仅当q1时，等号成立)所以S3(，13，)答案D在利用基本不等式解决函
5、数的值域问题时，要注意其使用条件和等号成立的条件，即所谓“一正、二定、三相等”例如，求函数yx的值域和的取值范围问题时，要注意分类讨论例8设函数f(x)xaln x(aR)(1)当a3时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单调性尝试解答易错分析本题的易错点是在讨论函数yf(x)的单调性时，因缺乏分类讨论意识，导致解题错误；或者有分类讨论意识，但分类标准模糊导致分类不全致误解答(1)函数f(x)的定义域为(0，)当a3时，f(x)1，令f(x)0，解得x11，x22.f(x)与f(x)随x的变化如下表：x(0,1)1(1,2)2(2，)f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增所以f(
6、x)在x1处取得极大值f(1)1；在x2处取得极小值，f(2)13ln 2.(2)f(x)1.令g(x)x2ax2，其判别式a28，当|a|2时，0，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0，g(x)0的两根都小于0，所以在(0，)上，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a2时，0，g(x)0的两根为x1，x2，且都大于0，f(x)与f(x)随x的变化如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)递增极大值递减极小值递增故f(x)在，上单调递增，在上单调递减综上，当a2时，f(x)在(0，)上单调递增；当a2时，f(x)在，上单调递增，在上单调递
7、减判断含参数的单调性问题应注意：先树立分类讨论的思想意识，做题时应先对问题作深入的研究，明确其分类的标准，如本题中要讨论函数f(x)的单调性，应讨论f(x)的符号，即讨论x2ax2的符号，从而应分0与0两种情况讨论；由于考虑到函数的定义域为(0，)，应讨论f(x)0的两根与定义域的关系，故再次分a2两种情况一般地，与yax2bxc有关的讨论有三种依据：a取值，取值，根的大小问题五作图用图要准确例9(2014滨州模拟)函数f(x)的图象和函数g(x)log2 x的图象的交点个数是()A4 B3 C2 D1尝试解答易错分析不能准确作出两函数在相应区间的图象以及两函数图象的相对位置关系，只是想当然、
8、没有依据地乱作图象，很容易导致错误解答分别在同一坐标系内作出两函数的图象如图所示，观察易知两函数图象有且仅有3个交点答案B在判断函数图象交点的个数或利用函数图象判断方程解的个数时，一定要注意函数图象的相对位置关系，可以取特殊值验证一下，如取x时，4x40)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则的取值范围为()A(，1) B(，1C(2,1 D(2,1)尝试解答易错分析不能根据函数解析式的特点以及零点所在区间确定a，b所满足的条件，导致找不到解决问题的突破口，或者忽视a0的限制条件，导致错解解答因为a0，所以二次函数f(x)的图象开口向上，又因为f(0)1，所以要使函数f(x)的一个零点
9、在区间(1,2)内，则有即如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子表示平面区域内的点P(a，b)与点Q(1,0)连线的斜率而直线QA的斜率k1，直线4a2b10的斜率为2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P，Q连线的斜率的取值范围为(2,1)答案D本题是一个函数的零点取值范围与线性规划的综合问题，先结合函数图象确定函数在指定区间存在零点的条件，再确定不等式组所表示的平面区域，将目标函数转化为平面区域内的点与定点连线的斜率，根据图形判断其取值范围在作图时要注意不等式组中各个不等式是否带有等号，否则很容易忽视边界值而导致错解问题六等价转化要严谨例11曲线y与直线yxb没有
10、公共点，则实数b的取值范围为_尝试解答易错分析本题易直接联立y与yxb，整理为2x22bxb210，然后错误地认为曲线y与直线yxb没有公共点等价于方程2x22bxb210无解，从而导致解题错误解答如图，根据图象可知：当b或b1)的图象上任意不同两点，依据图象，可知线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论a成立运用类比思想，可知若点C(x1，sin x1)，D(x2，sin x2)是函数ysin x(x(0，)的图象上的不同两点，则类似地有_成立尝试解答易错分析本题通过类比推理，易得“sin”的错误结论，其错误的原因是类比推理不严谨，未真正读懂题意，未能把握两曲线之间相似的性质
11、，导致得出错误结论解答运用类比推理与数形结合，可知ysin x(x(0，)的图象是上凸的，因此线段CD的中点的纵坐标总是小于函数ysin x(x(0，)图象上的点的纵坐标，即sin成立答案sin类比推理是从特殊到特殊的推理，求解有关类比推理题时，应找出两类事物之间的相似性和一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个正确的命题类比推理的关键是找到合适的类比对象，否则就失去了类比的意义问题八运算过程要合理例15在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a1，c.(1)若角C，则角A_；(2)若角A，则b_.尝试解答易错分析在用正弦定理解三角形时，易出现丢解或多解的错误，如第
12、(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sin A后，得出角A或；在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解，由sin C，只得出角C，所以角B，解得b2，这样就出现了丢解的错误解答(1)由正弦定理，得sin A，又ac，A0，b0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为_尝试解答易错分析本题容易因忽视特殊情况而出错因为当点P在右顶点处，F1PF2，所以0F1PF2.如果忽视特殊情况，就会出现0F1PF2的错误解答如图所示，设|PF2|m，F1PF2(0)，当点P在右顶点处时，.由条件，得|PF1|2m，|F1F2|2m2(2m)24m2cos
13、，且|PF1|PF2|m2a.所以e.又1cos bc BacbCbca Dbac解析：选D显然易知ba，又c5log3，所以bac.5.已知一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：长、宽不相等的长方形；正方形；圆；椭圆其中正确的是()A BC D解析：选B对于，俯视图是长方形是可能的，即此几何体为一个长方体，满足题意；对于，由于正视图中的长与宽不相等，侧视图是正方形，可知此几何体不是正方体，故俯视图不可能是正方形；对于，由于正视图中的长与侧视图中的长不相等，可知此几何体不是圆柱，故俯视图不可能是圆；对于，如果此几何体是一个上、下底面均为椭圆的柱体，满足正视图中的长与侧视图
14、中的长不相等，故俯视图可能是椭圆综上知是不可能的图形故选B.6若向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|a2b|2，则|b|()A. B1C4 D3解析：选B因为|a2b|2(a2b)2|a|24ab4|b|2228|b|cos 604|b|2(2)2，所以|b|2|b|20，解得|b|1.故选B.7(2014烟台模拟)已知函数f(x)且f(x0)3，则实数x0的值为()A1 B1C1或1 D1或解析：选C由条件可知，当x00时，f(x0)2x013，所以x01；当x0b0)上一点，若PF1PF2，tanPF2F12，则椭圆的离心率e()A. B. C. D.解析：选A由题意可知F1PF290
15、，不妨设|PF1|2，则由tanPF2F12，得|PF2|1，从而|F1F2|，所以离心率e.11函数f(x)x3bx21有且仅有两个不同零点，则b的值为()A. B. C. D不能确定解析：选Cf(x)3x22bxx(3x2b)，令f(x)0，得x10，x2.当曲线f(x)与x轴相切时，f(x)有且只有两个不同零点，因为f(0)10，所以f0，解得b.12(2014杭州模拟)已知函数f(x)若|f(x)|ax1恒成立，则实数a的取值范围是()A(，6 B6,0C(，1 D1,0解析：选B在同一直角坐标系下作出y|f(x)|和yax1的图象如图所示，由图象可知当yax1与yx24x相切时符合题
16、意，由x24xax1只有一个解得a6，绕点(0，1)逆时针旋转，转到水平位置时都符合题意，所以a6,0二、填空题13执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为_解析：执行程序框图可得：i1，S1；i2，S3；i3，S6；i4，S10；i5，程序结束，输出S10.答案：1014(2014长沙模拟)如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为_解析：因为甲20，所以乙20，得m23，m有23,24,25,26,27,28,29，共7种可能，所以甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为.答案：15已知在ABC中，角A，B，C的对边分
17、别为a，b，c，且B60，2b23ac，则角A的大小为_解析：由2b23ac及正弦定理可知，2sin2B3sin Asin C，故sin Asin C，cos(AC)cos Acos Csin Asin Ccos Acos C，即cos Acos C，cos Acos C0，故cos A0或cos C0，可知A或.答案：或16(2014广州模拟)在数列an中，已知a11，an1，记Sn为数列an的前n项和，则S2 014_.解析：a11，a2，a32，a41，数列an是周期为3的周期数列，S2 014S2 013a2 0146711.答案： 题型专练卷(二)一、选择题1(2014广州模拟)已知
18、i是虚数单位，若(mi)234i，则实数m的值为()A2 B2 C D2解析：选A(mi)234i，(m21)2mi34i，m2.2已知集合A1,0,1，By|yex，xA，则AB()A0 B1 C1 D0,1解析：选B由题意得B，故AB13(2014南昌模拟)命题：“若x21，则1x1，则x1B若1x1，则x21C若x1，则x21D若x1或x1，则x21解析：选D由逆否命题的定义可得，命题的逆否命题为：若x1或x1，则x21.4执行如图所示的程序框图，当输入n7时，输出的结果是()A84B35C10D1解析：选A第一次循环后：m1，s1，i3；第二次循环后：m9，s10，i5；第三次循环后：
19、m25，s35，i7；第四次循环后：m49，s84，i9，此时in，结束故输出s84.5在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线xy4相切，则圆O的方程为()Ax2y24 B(x1)2y24C(x1)2(y1)24 Dx2(y1)24解析：选A依题设，圆O的半径r等于原点O到直线xy4的距离，即r2，得圆O的方程为x2y24.6已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A. B. C. D2解析：选B该几何体是一个组合体，左侧是一个底面半径为1，高为2的圆锥的一半，右侧是一个底面半径为1，高为3的圆柱的一半，故组合体的体积为213.7(2014新乡模拟)在样本频率分布直方图中，共有
20、五个小长方形，这五个小长方形的面积由小到大构成等差数列an，已知a22a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为()A100 B120 C150 D200解析：选A由频率分布直方图的性质可得a1a2a51，即5a35(3a1)1，得a1，所以小长方形面积的最大值为5a1，又因为样本容量为300，所以小长方形面积最大的一组的频数等于300100.8(2014青岛模拟)如图，在ABC中，AB1，AC3，D是BC的中点，则()A3 B4C5 D不能确定9函数yx2ex的图象大致为()解析：选A因为y2xexx2exx(x2)ex，所以当x0时，y0，函数yx2ex为增函数；当2x0时
21、，y0，所以排除D，选择A.10(2014武汉模拟)三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，ABBC，又SAABBC1，则球O的表面积为()A.B.C3D12解析：选C因为SA平面ABC，AB平面ABC，所以SAAB，因为BCAB，SAABBC1，所以可将S ABC视为正方体的一部分，球心O在体对角线SC上，设球O的半径为R，则(2R)2111，R，球O的表面积为423.11(2014陕西质检)已知点P为抛物线x212y的焦点，A，B是双曲线3x2y212的两个顶点，则APB的面积为()A12 B8 C6 D4解析：选C依题意有P(0,3)，A(2,0)，B(2,0)，故|
22、OP|3，|AB|4，所以SAPB|AB|OP|436.12(2014沈阳模拟)已知函数yf(x)是R上的可导函数，当x0时，有f(x)0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是()A0 B1 C2 D3解析：选B依题意，记g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)f(x)，g(0)0.当x0时，g(x)x0，g(x)是增函数，g(x)0；当x0时，g(x)x0.在同一坐标系内画出函数yg(x)与y的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F(x)xf(x)的零点个数是1，选B.二、填空题13(2014郑州二模)若sin，则cos_.解析：，故coscossin.答案：14已知变量x，
23、y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数zyx取得最小值，则k_.解析：由题意可知，不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，即ABC的边界及其内部，kxy40表示过定点(0,4)的直线，因为可行域中有无穷多个点(x，y)使目标函数zyx取得最小值，所以最优解落在了直线kxy40上，且该直线与直线yx0平行，故k1.答案：115(2014北京模拟)观察下列不等式：，则第n个不等式为_解析：因为不等式的右侧是一个分式，其中，故不等式的右侧依次构成数列；不等式的左侧是一些分式的和，其中，故不等式的左侧是数列的前n项和故第n个不等式为.答案：16在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；|
24、a1|a2|an|_.解析：设等比数列an的公比为q，则a4a1q3，代入数据解得q38，所以q2；等比数列|an|的公比为|q|2，则|an|2n1，所以|a1|a2|a3|an|(12222n1)(2n1)2n1.答案：22n1如同前面所讲，高考是选拔性的考试，送分题不会太多，保分题才是我们得分的主阵地此类问题主要是指解答题，它们的特点是：对基础知识考查较多，计算相对复杂，使用的数学思想方法相对深入等它们主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、概率与统计、解析几何(或与平面向量交汇)、立体几何、数列(或与不等式交汇)从历年高考看这些题型的命制都呈现出显著的特
25、点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的大有人在，针对以上情况，我们总结出一套体现解数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式的“答题模板”这样，在解决高考解答题时，就可以按照一定的解题程序和答题格式，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化模板一三角函数的图象与性质例1(2014福建高考)(13分)已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解题流程规范解答f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.4分(1)因为0，sin ，所以，6
26、分从而f()sinsin.8分(2)T.9分由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.12分所以f(x)的单调递增区间为，kZ.13分,解题模板第1步：三角函数式的化简，一般将三角函数式化为yAsin(x)b或yAcos(x)b的形式如本例中将f(x)化为f(x)sin；第2步：确定角的大小；第3步：将代入求f()的值；第4步：由T求最小正周期；第5步：确定单调递增区间；第6步：明确规范地写出答案反思领悟查看关键点、易错点及解题规范，如本例中f(x)的解析式化简是否正确；单调区间是否求解正确模板二解 三 角 形例2(2014浙江高考)(14分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已
27、知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面积解题流程规范解答(1)由题意得sin 2Asin 2B，2分即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，3分sinsin.4分由ab，得AB，又AB(0，)，得2A2B，5分即AB，6分所以C.7分(2)由c，sin A，得a.9分由ac，得AC，从而cos A，10分故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，12分所以，ABC的面积为Sacsin B.14分解题模板第1步：利用三角恒等变换公式转化等量关系如本例应用降幂公式和正弦二倍
28、角公式 及辅助角公式，将已知等式转化为sinsin；第2步：求角在指明角的范围的情况下，结合三角形内角和定理求角； 第3步：利用正弦定理及平方关系求cos A；第4步：利用两角和正弦公式及三角形面积公式求SABC；第5步：明确规范地写出答案反思领悟查看关键点、易错点及答题规范，如本题易忽视ab而误得出AB导致无法求解另外易忽视ac而错误得出cos A.模板三数列的通项与求和例3(2014广东高考)(14分)设各项均为正数的数列an 的前n 项和为Sn，且 Sn满足 S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1 的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.解题流程
29、规范解答(1)由题意知，S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.令n1，有S(1213)S13(121)0，1分可得SS160，解得S13或2，即a13或2，2分又an为正数，所以a12.3分(2)由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*可得，(Sn3)(Snn2n)0，则Snn2n或Sn3，5分又数列an的各项均为正数，所以Snn2n，Sn1(n1)2(n1)，6分所以当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.7分又a1221，所以an2n.8分(3)当n1时，成立；9分当n2时，11分所以.13分所以对一切正整数n，有b0)的一个焦点，且点(0，b)到直线l的距离为2.(1
30、)求椭圆E的方程；(2)A、B、C是椭圆E上的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|CB|，问ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由解题流程 规范解答(1)对于直线l：yx3，令y0，得x，故焦点为(，0)，知c.2分点(0，b)到直线l的距离为：2，得b1或7(舍去)，4分a2b2c24，故椭圆E的方程为y21.5分(2)()当AB为长轴(或短轴)时，依题意，知点C就是椭圆的顶点，SABC|OC|AB|ab2.6分()当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为ykx，联立方程得x，y.7分由于|CA|CB|，故ABC为等腰三角形，O为A
31、B的中点，知OCAB，直线OC的方程为yx，同理可得x，y.8分|OA|2，|OC|2，于是SABC2SOAC|OA|OC| .10分由于，SABC2SOAC，等号当且仅当14k24k2，即k21时取得综合()()知，当k21时，SABC有最小值.12分此时x，y，即xC，yC，13分C点的坐标是，.14分,解题模板第1步： 建立关于a、b的方程求解a，b，得椭圆方程；第2步：根据AB斜率存在与否分两种情况讨论；第3步：当直线AB斜率存在时，设出方程，根据等腰三角形性质建立关系并表示出ABC的面积；第4步：利用基本不等式求SABC的最小值；第5步：得出结论反思领悟查看关键点、易错点及解题规范本
32、例易漏掉对直线AB为长轴(或短轴)的讨论而致使解题过程不严谨，不完整模板六求概率问题例6(2014滨州模拟)(12分)某商场周年庆举办了有奖竞猜活动，活动共设有A、B、C、D 4种等价值的奖品，每位获奖者只能选其中的1种，现有甲、乙两位获奖者，假设两位获奖者选择奖品是相互独立的，试求：(1)甲、乙选择同一种奖品的概率；(2)奖品A、B至少有1种被选择的概率解题流程规范解答由题意可知，甲、乙都只能在这4种奖品中选择其中1种的所有可能结果为(甲A、乙A)、(甲A、乙B)、(甲A、乙C)、(甲A、乙D)、(甲B、乙A)、(甲B、乙B)、(甲B、乙C)、(甲B、乙D)、(甲C、乙A)、(甲C、乙B)、
33、(甲C、乙C)、(甲C、乙D)、(甲D、乙A)、(甲D、乙B)、(甲D、乙C)、(甲D、乙D)，共16种结果4分(1)设“甲、乙选择同一种奖品”为事件E，则事件E所含基本事件为(甲A、乙A)、(甲B、乙B)、(甲C、乙C)、(甲D、乙D)，共4种，6分故其概率P(E).8分(2)设“奖品A、B至少有1种被选择”为事件F，则事件F所含基本事件为(甲A、乙A)、(甲A、乙B)、(甲A、乙C)、(甲A、乙D)、(甲B、乙A)、(甲B、乙B)、(甲B、乙C)、(甲B、乙D)、(甲C、乙A)、(甲C、乙B)、(甲D、乙A)、(甲D、乙B)，共12种，10分故其概率P(F).12分,解题模板第1步：列出所
34、有基本事件，计算基本事件总数；第2步：将所求事件分解为若干个互斥事件或转化为其对立事件(也许不用分解，但分解必须注意互斥)；第3步：分别计算每个互斥事件的概率；第4步：利用有关概率公式求出问题事件概率反思领悟查看关键点、易错点及解题规范，如本题易将基本事件的个数求错模板七利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题 例7(2014贵阳模拟)(12分)已知函数f(x)ax22xln x.(1)当a0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上是增函数，求实数a的取值范围解题流程规范解答(1)函数的定义域为(0，)，f(x)ax22xln x，当a0时，f(x)2xln x，则f(x)2(x0)，3
35、分x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)单调递减极小值单调递增当x时，f(x)的极小值为1ln 2，函数无极大值6分(2)由已知，得f(x)ax22xln x，且x0，则f(x)ax2.8分若a0，由f(x)0得x，显然不合题意；若a0，函数f(x)在上是增函数，f(x)0在x时恒成立，即不等式ax22x10在x时恒成立，即a21恒成立，故amax，11分而当x时，函数21的最大值为3，实数a的取值范围为a3.12分,解题模板第1步：确定函数定义域，如本例函数定义域为(0，)；第2步：求f(x)，并求f(x)0的根；第3步：利用f(x)0的根和不可导点的x的值从小到大顺序
36、将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；第4步：根据表格确定极值；第5步：转化，将问题转化为f(x)0在，2上恒成立，进而转化为求最值问题；第6步： 明确规范地表述结论反思领悟查看关键点、易错点及解题规范，如本题第(1)问易忽视定义域；第(2)问易出现忽视对a讨论的情况模板八不等式的恒成立问题例8(2014临沂模拟)(13分)设函数f(x)ax2，g(x)a2x2ln x2，其中aR，x0.(1)若a2，求曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程；(2)是否存在负数a，使f(x)g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解题流程规范解答(1)由题意可知当a2
37、时，g(x)4x2ln x2，则g(x)8x，2分曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线斜率kg(1)7，又g(1)6，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线的方程为y67(x1)，即y7x1.5分(2)设函数h(x)f(x)g(x)axln xa2x2(x0)假设存在负数a，使得f(x)g(x)对一切正数x都成立，即当x0时，h(x)的最大值小于等于零h(x)a2a2x(x0)令h(x)0，可得x1，x2(舍)8分当0x时，h(x)0，h(x)单调递增；当x时，h(x)0，h(x)单调递减h(x)在x处有极大值，也是最大值10分h(x)maxh0，解得ae，负数a存在，它的取值范围为.1
38、3分解题模板第1步：将问题转化为形如不等式f(x)a(或f(x)a)恒成立的问题；第2步：求函数f(x)的最大值f(x)max(或f(x)的最小值f(x)min)；第3步：解不等式f(x)maxa(或f(x)mina)；第4步：明确规范地表述结论反思领悟查看关键点、易错点及解题规范，如本题重点反思每一步转化的目标及合理性，最大值或最小值是否正确保分专练卷(一)1已知函数f(x)4sin xcos x4cos2x1.(1)求函数f(x)在上的最大值和最小值；(2)若对于任意的xR，不等式f(x)f(x0)恒成立，求sin的值解：(1)由题意知，f(x)4sin xcos x4cos2x12sin
39、 2x2(1cos 2x)14sin1.0x，2x，sin1，3f(x)3.即函数f(x)在上的最大值为3，最小值为3.(2)对于任意的xR，不等式f(x)f(x0)恒成立，f(x0)是f(x)的最大值，2x02k，kZ，解得2x02k，kZ，sinsinsin.2(2014济南模拟)某工厂有三个车间，共有员工2 000名，各车间男、女员工人数如下表：第一车间第二车间第三车间女员工373x200男员工377370y已知在全厂员工中随机抽取1名，抽到第二车间女员工的概率是0.19.(1)求x，y的值；(2)现用分层抽样的方法在第三车间抽取5名员工参加志愿者活动，将这5人看作一个总体，现要从5人中
40、任选2人做正、副组长，求恰有1名女员工当选正组长或副组长的概率解：(1)x2 0000.19380，y300.(2)应抽取男员工3名，设为a，b，c，女员工2名，设为m，n，任选2人做正、副组长的可能有：(a，b)，(a，c)，(a，m)，(a，n)，(b，a)，(b，c)，(b，m)，(b，n)，(c，a)，(c，b)，(c，m)，(c，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，n)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，m)，共20种设事件A表示“恰有1名女员工当选组长”，则A包含的基本事件为：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(m，a)，(
41、m，b)，(m，c)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，共12种故所求的概率P(A).3(2014沈阳模拟)已知ABC为直角三角形，ABBC，四边形ABDE为等腰梯形，DEAB，平面ABDE平面ABC，ABBC2DE2.(1)在AC上是否存在一点F，使得EF平面BCD?(2)若等腰梯形ABDE的高h1，求四棱锥C ABDE的体积解：(1)当点F为AC的中点时，EF平面BCD.证明如下：取BC的中点H，连接EF，FH，DH，则FHAB，且FHAB，又DEAB，ABBC2DE2，所以FHDE，且FHDE，所以四边形DEFH为平行四边形，所以EFDH，又EF平面BCD，DH平面BCD，所以EF平面
42、BCD.(2)因为平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，ABBC，所以BC平面ABDE.又等腰梯形ABDE的高h1，ABBC2DE2，所以四棱锥C ABDE的体积VS等腰梯形ABDEBC(12)121.4已知数列an的前n项和Snann21，数列bn满足3nbn1(n1)an1nan，且b13.(1)求an，bn；(2)设Tn为数列bn的前n项和，求Tn，并求满足Tn7时n的最大值解：(1)当n2时，Snann21，Sn1an1(n1)21，两式相减，得ananan12n1，an12n1，an2n1，3nbn1(n1)(2n3)n(2n1)4n3，bn1.当n2时，bn，又b13
43、适合上式，bn.(2)由(1)知，bn，Tn，Tn，得Tn3345，Tn.TnTn10，TnTn1，即Tn为递增数列又T37，当Tn7时，n的最大值为3.保分专练卷(二)1(2014皖南八校联考)在ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C的对边，关于x的不等式x2cos C4xsin C60的解集是空集(1)求角C的最大值；(2)若c，ABC的面积S，求角C取最大值时ab的值解：(1)显然cos C0不合题意，则即即解得：cos C，故角C的最大值为60.(2)当C60时，SABCabsin Cab，ab6，由余弦定理得：c2a2b22abcos C(ab)22ab2abcos C，(ab)2
44、c23ab，ab.2(2014福州模拟)某科研机构有3名男科学家和3名女科学家，现要从中选出2名科学家参加一个学术活动(1)求男科学家甲被选中的概率；(2)由于工作需要，男科学家甲和女科学家A不能同时入选，则选出的2名科学家为1名男科学家和1名女科学家的概率是多少？解：(1)设其余的2名男科学家分别为乙、丙，其余的2名女科学家分别为B、C，由题意可知，从3名男科学家和3名女科学家中选出2名科学家结果为(甲，乙)、(甲，丙)、(甲，A)、(甲，B)、(甲，C)、(乙，丙)、(乙，A)、(乙，B)、(乙，C)、(丙，A)、(丙，B)、(丙，C)、(A，B)、(A，C)、(B，C)，共计15个基本事
45、件，其中含有男科学家甲的有5个基本事件，所以所求的概率是.(2)此时事件“2名科学家为1名男科学家和1名女科学家”所含有的基本事件是(甲，B)、(甲，C)、(乙，A)、(乙，B)、(乙，C)、(丙，A)、(丙，B)、(丙，C)，共计8个基本事件，根据古典概型的概率计算公式，所求概率是.3(2014厦门模拟)在四棱锥P ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，M、N分别是BC和PD的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)证明：平面PBD平面PAC.解：(1)取PA的中点O，连接BO、NO.NO是PAD的中位线，NOAD，NOAD.四边形ABCD为菱形，MBAD，MBAD，NOMB，NO
46、MB，四边形BMNO为平行四边形，MNBO.又BO平面PAB，MN平面PAB，MN平面PAB.(2)四边形ABCD为菱形，BDAC.又PA平面ABCD，且BD平面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC.又BD平面PBD，平面PBD平面PAC.4(2014日照模拟)设各项均为正数的数列an的前n项和是Sn，若an和都是等差数列，且公差相等(1)求数列an的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列bn的前三项，记cn，数列cn的前n项和为Tn，求证：对任意nN*都有Tn2.解：(1)设数列an的公差为d，则n，且a10.又d，所以d，a1，an.(2)易知bn3n1，所以cn.当n
47、1时，T1c12；当n2时，所以当n2时，Tn22.综上可知，对任意的nN*都有Tnb0)的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率；(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程尝试解答(试一试，看看能得多少分)解题规范与评分细则(1)由椭圆定义知，2a|PF1|PF2| 2，所以a. 2分又由已知，c1，所以椭圆C的离心率e. 4分(2)由(1)知，椭圆C的方程为y21.设点Q的坐标为(x，y)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，1)两点，此时点Q的坐标为. 6分当直线l
48、与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|AM|2(1k2)x，|AN|2(1k2)x.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即. 8分将ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24(2k21)60，得k2.由可知，x1x2，x2x2，代入中并化简，得x2. 10分因为点Q在直线ykx2上，所以k，代入中并化简，得10(y2)23x218.11分由及k2，可知0x20)与抛物线C2：y22ax相交于A，B两点，且焦点重合(1)求C1，C2的方程；(2)在椭圆上x轴的两侧取
49、异于短轴端点的两点C，D，若|AC|BD|，求证C，D关于x轴对称；(3)若过焦点F的直线l与两曲线交于P，M，N，Q四点，是否存在直线l使其斜率k满足|PN|2|MQ|？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由尝试解答(试一试，看看能得多少分)解题规范与评分细则(1)因为C1，C2的焦点重合，所以，又a0，所以a2，因此C1：1，C2：y24x. 2分(2)联立C1，C2的方程得解得A，B.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由|AC|BD|得，2222，故xx(x2x1)yy2(y2y1)而yy(xx)，代入上式，得xx(x2x1)8(y2y1)0.(*) 6分根据图中点C，D的位置可以得
50、到y1 ，y2 ，代入上式(*)得，xx(x2x1)80，xx(x2x1)80，(x1x2)0，由于x1x2的值不恒为零，所以x1x2一定等于零，即x1x2，此时y1y2，因此C(x1，y1)，D(x2，y2)关于x轴对称 9分(3)假设存在直线l使其斜率k满足|PN|2|MQ|，设直线l的方程为yk(x1)，将yk(x1)与y24x联立消去y得k2x2(2k24)xk20，解得|PN|.将yk(x1)与1联立消去y得(34k2)x28k2x4k2120，解得|MQ|. 11分若|PN|2|MQ|，则2，解得k.综上可知，存在k满足条件 14分本题第(2)问难度较大，但我们可以跳过第(2)问，
51、直接求解第(3)问，这就是所谓的跳步解答，这样虽然没能解出第(2)问，但第(3)问同样可以得到相应的分数第三招辅 助 解 答一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算到哪里的策略书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应如：例3(2014银川模拟)(12分)如图，动圆C1：x2y2t2,1t3与椭圆C
52、2：y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程尝试解答(试一试，看看能得多少分)解题规范与评分细则(1)设A(x0，y0)，则矩形ABCD的面积S4|x0|y0|. 1分由y1，得y1， 3分从而xyx2.当x，y时，Smax6.从而t时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6. 5分(2)设点M(x，y)，由A(x0，y0)，B(x0，y0)，A1(3,0)，A2(3,0)，知直线AA1的方程为y(x3)， 6分直线A2B的方程为y(x3) 7分由得y2(x
53、29) 9分又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y1.将代入得y21(x3，y0) 11分因此点M的轨迹方程为y21(x3，y0且a0，由得ak0. 7分要证ak，由只要证，即证3a4(aak11)，即(ak12)20，此式明显成立，因此ak(k3) 9分最后证ak1ak，若不然ak1ak，又因ak0，故1，即(ak1)2b0)的短轴长为2，点P为上顶点，圆O：x2y2b2将椭圆C的长轴三等分，直线l：ymx与椭圆C交于A、B两点(1)求椭圆C的方程；(2)求证：APB为直角三角形，并求该三角形面积的最大值解：(1)由题知2b2，b1.圆O将椭圆C的长轴三等分，2b2a，a3b3，椭圆C的方程为
54、y21.(2)由，消去y得(19m2)x2mx0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，又P(0,1)，(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2x1x2m2x1x2m(x1x2)(1m2)m0.PAPB，则APB为直角三角形设l与y轴的交点为K，则K，|PK|，SAPB|PK|(|x1|x2|)|PK|x1x2|，令t1，则SAPB，当且仅当9t即t时取等号APB面积的最大值为.2(2014南昌模拟)已知函数f(x)ln xx2ax(a为常数)(1)若x1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(2)当0a2时，试判断f(x)的单调性；(3)若对
55、任意的a(1,2)，x01,2，不等式f(x0)mln a恒成立，求实数m的取值范围解：f(x)2xa，x0，(1)由已知得：f(1)0，所以12a0，所以a3.(2)当0a2时，f(x)2xa，因为00，而x0，即f(x)0，故f(x)在(0，)上是增函数(3)当a(1,2)时，由(2)知，f(x)在1,2上的最小值为f(1)1a，故问题等价于：对任意的a(1,2)，不等式1amln a恒成立，即m恒成立记g(a)(1a2)，则g(a)，令M(a)aln a1a，则M(a)ln a0，所以M(a)在(1,2)上单调递减，所以M(a)M(1)0，故g(a)0，所以g(a)在a(1,2)上单调递
56、减，所以mg(2)log2e，即实数m的取值范围为(，log2e拉分专练卷(二)1(2014广州模拟)已知函数f(x)x36x29x3.(1)求函数f(x)的极值；(2)定义：若函数h(x)在区间s，t(st)上的取值范围为s，t，则称区间s，t为函数h(x)的“域同区间”试问函数f(x)在(3，)上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由解：(1)因为f(x)x36x29x3，所以f(x)3x212x93(x1)(x3)令f(x)0，可得x1或x3.则f(x)，f(x)在R上的变化情况为：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)增函数1减
57、函数3增函数所以当x1时，函数f(x)有极大值1，当x3时，函数f(x)有极小值3.(2)假设函数f(x)在(3，)上存在“域同区间”s，t(3s3)，则g(x)3x212x8.令g(x)0，解得x123.当3xx2时，g(x)x2时，g(x)0，所以函数g(x)在区间(3，x2)上单调递减，在区间(x2，)上单调递增因为g(3)60，g(x2)g(3)0，所以函数g(x)在区间(3，)上只有一个零点这与方程x36x29x3x有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立，所以函数f(x)在(3，)上不存在“域同区间”2(2014山东六校联考)椭圆E：1(ab0)的焦点F到直线x3y0的距离为，
58、抛物线G：y22px(p0)的焦点与椭圆E的焦点F重合，过F作与x轴垂直的直线交椭圆于S，T两点，交抛物线于C，D两点，且4.(1)求椭圆E及抛物线G的方程；(2)过点F且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，交抛物线于M，N两点，如图所示，请问是否存在实常数，使为常数若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：(1)设椭圆E、抛物线G的公共焦点F(c,0)，由点到直线的距离公式得，解得c2，故2，即p4.由4，得4，即ab2，又a2b222，解得a，b1.故椭圆E的方程为y21，抛物线G的方程为y28x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)把直线l的方程yk(x2)，与椭圆E的方程联立，得整理得(15k2)x220k2x20k250，x1x2，x1x2，|AB|.把直线l的方程yk(x2)，与抛物线G的方程联立，得得k2x2(4k28)x4k20，x3x4，x3x44，|MN|x3x44.，要使为常数，则204，解得.故存在，使得为常数
