1、第11课时抛物线的几何性质(2) 教学过程一、 数学运用【例1】若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,P是抛物线上一动点,求当PA+PF取得最小值时点P的坐标.1(见学生用书P35)处理建议显然,无法直接求PA+PF的最小值,问题需要转化.引导学生先画图、分析、讨论,再借助于抛物线的定义将PF转化为PQ,最终由“点到直线的最短距离是垂线段”解决问题.规范板书解如图,过点P向准线作垂线,垂足为Q,则由抛物线的定义可知PF=PQ,(例1)所以PA+PF=PA+PQ.于是,问题转化为求当PA+PQ取得最小值时点P的坐标,即在抛物线上求一点P,使其到点A和准线的距离之和最小.由点到直线
2、距离的最小性可知,其最小值是过点A向准线x=-作垂线(垂足为B)时垂线段AB的长度.所以当PA+PF最小时,点P的纵坐标为2,从而得点P的坐标是(2,2).题后反思借助于抛物线的定义将PF等量转化为PQ是求解本题的关键,这样的转化在抛物线问题中随处可见,需掌握.变式已知P是抛物线y2=4x上一个动点,F是其焦点.若点B的坐标为(3,2),求PB+PF的最小值.规范板书解如图,过点P作PC垂直于准线,垂足为C,则由抛物线的定义可知PC=PF,所以PB+PF=PB+PC.(变式)过B作BQ垂直于准线,垂足为Q,则由点到直线的最短距离是垂线段知,PB+PCBQ=4.故其最小值为4.(例2)【例2】求
3、抛物线y2=4x上一动点P到点A(-1,1)的距离与它到直线x=-1的距离之和的最小值.(见学生用书P36)处理建议先利用抛物线的定义将抛物线上点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,再根据图形求解.规范板书解设动点P到直线x=-1的距离为d,抛物线的焦点为F,则由抛物线的定义知PF=d,F(1,0).于是有PA+d=PA+PFAF=,当且仅当P,A,F三点共线时“=”成立,因此距离之和的最小值为.题后反思先利用定义将距离进行转化,再利用不等式PA+PFAF解决最值问题.【例3】在抛物线y2=2x上求一点P,使其到直线l:x+y+4=0的距离最小,并求最小距离.2(见学生用书P36)处理建议先引
4、导学生画图、分析,再对比讨论各种解法.规范板书设P(x,y)为抛物线y2=2x上任意一点,点P到l的距离为d,则d=.解法一令t=x+y,设直线x+y=t与抛物线y2=2x有公共点.由得y2+2y-2t=0.令0,可得t-,所以x+y+4,故d=,即dmin=.当且仅当x+y=-时,d取最小值.由解得即当点P的坐标为时,d有最小值.解法二由平面区域知识可得x+y+40,故d=.又x=,故d=.当y=-1时,x=.即当点P的坐标为时,d有最小值.解法三设直线l:x+y+m=0与抛物线相切,则平行线l与l间的距离即为抛物线上的点到直线l的最小距离.由得y2+2y+2m=0,所以=4-8m=0,得m
5、=.此时直线l的方程为x+y+=0,l与l的距离为d=.由得即当点P的坐标为时,d有最小值.题后反思解法一,通过对x,y的二元一次代数式的换元,将其转化为直线,进而将条件转化为“保证直线与抛物线有公共点”,降低了思维难度;解法二,充分利用抛物线方程的结构特点,对点到直线的距离公式进行消元,将其转化为一元函数问题;解法三,利用几何图形的直观性,借助于切线解决问题.上述三种方法在处理圆锥曲线上动点到定直线距离的最小值问题时,应用广泛,需认真体会、熟练掌握.*【例4】定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移动,求线段AB的中点M横坐标的最小值,并求出此时点M的坐标.3处理建议本题可引导学生
6、回归抛物线定义,借助定义转化问题.规范板书解如图,设F是抛物线y2=x的焦点,连结AF,BF,过点A,B,M分别作AC,BD,MN垂直于准线,垂足分别为C,D,N,则MN=(AC+BD).(例4)根据抛物线定义得AC=AF,BD=BF,所以MN=(AF+BF).设点M的横坐标为x,则MN=x+,所以x=MN-=.等号成立的条件是弦AB过点F,由于|AB|2p=1,所以AB过焦点是可能的.此时点M到y轴的最短距离是,即AB的中点M的横坐标为.当F在AB上时,设A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1y2=-p2=-,从而(y1+y2)2=+2y1y2=2-=2,即y1+y2=,所以此时AB的中点M
7、的纵坐标为.所以点M的坐标为时,点M到y轴的距离最小,最小值为.题后反思(1) 在直角坐标系中,常将点的坐标与相应线段的长(或距离)相互转化.如本题,将点M的横坐标转化为点M到y轴的距离是解本题的关键.(2)本题利用抛物线定义构造直角梯形,将该梯形的上、下底转化为抛物线上的点A,B到焦点F的距离,从而利用几何不等式(三角形中两边之和大于第三边)研究其最小值.二、 课堂练习1.已知抛物线y2=6x,定点A(2,3),F为焦点,P为抛物线上一动点,则PF+PA的最小值为.提示准线方程为x=-,最小值为.2.已知O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,A是抛物线上一点,与x轴正方向的夹角
8、为60,则|=p .提示如图,设FA=m,则m=2(m-p),即m=2p,所以CF=p,故OA=p.(第2题)3.已知A(0,-4),B(-3,2),抛物线y2=8x上的点到直线AB的最短距离为.提示直线AB:2x+y+4=0,设2x+y+t=0与抛物线y2=8x相切,消去x得y2+4y+4t=0,故=0,得t=1,所以d=.4.已知点P(4,2)在抛物线y2=4x的内部,F是抛物线的焦点,在抛物线上求一点M,使MP+MF最小,并求此最小值.解如图,过M作准线l的垂线MA,垂足为A,则由抛物线的定义有MF=MA,所以MP+MF=MP+MA.(第4题)显然当P,M,A三点共线时,MP+MF最小.此时,点M的坐标为(1,2),最小值为5.三、 课堂小结从代数或几何角度来研究抛物线的相关最值问题.
