1、立体几何0912.已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.(I) 证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值. AACBDEFBCDEF在RtADE中, ，.解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.ACD为正三角形,F为CD的中点,又因,所以又且为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即设原正方体的边长为2a,连结AF，在
2、折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, ,.【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.13如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，。（）证明；（）若，求与平面ABC所成角的余弦值。解法二: 解法二: 如图,建立空间直角坐标系Mxyz.令MN=1, 则有A(1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),ABMNCl2l1Hxyz()MN是 l1、l2的公垂线, l1l2, l2平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,1,0
3、). =1+(1)+0=0 ACNB.() =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又已知ACB=60,ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtCNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).连结MC,作NHMC于H,设H(0, ) (0). =(0,1,), =(0,1, ). = 12=0, = ,H(0, , ), 可得=(0, ), 连结BH,则=(1, ),=0+ =0, , 又MCBH=H,HN平面ABC,NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(1,1,0),cosNBH= = = NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(1,1,0),cosNBH= = =
4、14如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，D、E分别为BB1、AC1的中点（）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；ABCDEA1B1C1（）设AA1ACAB，求二面角A1ADC1的大小解法二：（）如图，建立直角坐标系Oxyz，其中原点O为AC的中点设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)则C(a，0，0)，C1(a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c) 3分ABCDEA1B1C1Ozxy（0，b，0），(0，0，2c)0，EDBB1又(2a，0，2c)，0，EDAC1， 6分所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线（）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(1，0，0)，A1(1，0，2)，
