1、第二章 平面向量23 平面向量的基本定理及坐标表示23.1 平面向量基本定理内 容 标 准学 科 素 养1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当选定一组基底后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.应用直观想象发展逻辑推理应用数学抽象01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 平面向量基本定理阅读教材 P9394，思考并完成以下问题(1)如果 e1，e2 是两个不共线的确定向量，那么与 e1，e2 在同一平面内的任一向量 a能否用 e1，e2 表示？依据是什么？提示
2、：a 可以用 e1，e2 表示，可利用向量的线性运算(2)设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，a3e12e2，如何作出 a.提示：在平面内任取一点 O，作OA 3e1，作OB 2e2.以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB，则OC OA OB 3e12e2.(3)设OM e1，ON e2，a 是平面内任一向量，如何用 e1，e2 表示 a?提示：将 a 平移到 O 为起点，即作OC a，过 C 作 OM 的平行线交 ON 的延长线于 B 点，过 C 作 ON 的平行线交 OM 的延长线于 A 点，则OB 2e2，OA 1e1，OC OA OB，a1e12e2.知识梳理(1)平面
3、向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不_向量，那么对于这一平面内的_向量 a，_实数 1，2，使 a1e12e2.(2)基底：_的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内_向量的一组基底思考 如果 e1，e2 是共线向量，那么向量 a 能否用 e1，e2 表示？共线任意有且只有一对不共线一组提示：不能表示知识点二 两向量的夹角与垂直思考并完成以下问题不共线向量有不同方向，它们的位置关系可以用角度表示吗？如图，在平面直角坐标系中，OM 为第一象限角平分线ON 为第二象限角平分线(1)OA 与OM 两个方向所夹的角是多少？提示：45.(2)OA 与OB 两个方向所夹的角是多少？提示：90
4、.(3)OA 与ON 两个方向所夹的角是多少？提示：135.知识梳理(1)夹角：已知两个_a 和 b，作OA a，OB b，则_(0 180)叫做向量 a 与 b 的夹角(如图所示)当 0时，a 与 b _；当 180时，a 与 b _(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90，则称 a 与 b 垂直，记作 ab.非零向量AOB同向反向自我检测1给出下列三种说法：一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量其中，说法正确的为()A BCD答案：B2.如图，已知 AM 是ABC 的边 B
5、C 上的中线，若AB a，AC b，则AM 等于()A.12(ab)B12(ab)C.12(ab)D12(ab)答案：C探究一 基底的概念例 1(1)设 e1，e2 是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2 和 e1e2B3e14e2 和 6e18e2Ce12e2 和 2e1e2De1 和 e1e2解析 3e14e2 与 6e18e2 共线答案 B(2)如果 e1，e2 是平面 内所有向量的一组基底，那么()A若实数 1，2，使 1e12e20，则 120B空间任一向量 a 可以表示为 a1e12e2，这里 1，2 为实数C对实数 1，2，1e12e2 不一
6、定在该平面内D对平面 内任一向量 a，使 a1e12e2 的实数 1，2 有无数对解析 平面 内任一向量都可写成 e1 与 e2 的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故 B 不正确；对任意实数 1，2，向量 1e12e2 一定在平面 内，故 C 不正确；而对平面 内的任一向量 a，实数 1，2 是唯一的，故 D 不正确答案 A方法技巧 对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1ay1bx2
7、ay2b，则x1x2，y1y2.跟踪探究 1.设 O 点是平行四边形 ABCD 两条对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在的平面的基底的是()AD 与AB；DA 与BC；CA 与DC；OD 与OB.A BCD答案：B探究二 用基底表示向量教材 P120 第 4 题如图，已知四边形 ABCD 是等腰梯形，E、F 分别是腰 AD、BC的中点，M、N 是线段 EF 上的两点，且 EMMNNF，下底是上底的 2 倍，若AB a，BC b，求AM.解析：EF EA AB BF，EF ED DC CF，得 2EF AB DC a12a32a，EF 34a.AM AB BF FM a12b233
8、4a12a12b.例 2 如图，ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，AB a，AD b，试用基底a，b 表示MC，MA，MB.解析 AC AB AD ab，BD AD AB ba，因为平行四边形的对角线互相平分，所以MC 12AC 12a12b.MA MC 12a12b，MD 12BD 12b12a，所以MB MD 12a12b.方法技巧 平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找
9、到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量延伸探究 1.若本例中的条件不变，添加“AF 13AB”，试用 a，b 表示MF.解析：MF AF AM 13a12(ab)16a12b.2.若本例题中，若 E，F 分别是边 CD 与 BC 的中点，AC AE AF，其中，R，求 的值解析：AC ab，AE 12ab，AF a12b，则 AE AF 12 a12 bab，所以121，121，两式相加得32()2，故 43.探究三 向量的夹角教材 P120 第 1 题(6)问若向量 a、b、c 两两所成的角相等，且|a|1，|b|1，|c|3，则|abc|等于()A2 B5C2 或 5 D.2
10、或 5解析：若 a，b，c 同向，夹角都为 0，则|abc|a|b|c|1135.若 a 与 b，b 与 c，c 与 a 成 120.如图，OA a，OB b，OC c.以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OADB，则OD ab，且|OD|1，OD 与OC 反向|abc|312.故选 C.答案：C例 3 已知|a|b|2，且 a 与 b 的夹角为 60，设 ab 与 a 的夹角为，ab与 a 的夹角是，求.解析 如图，作OA a，OB b，且AOB60，以 OA，OB 为邻边作OACB，则OC ab，BA OA OB ab，BC OA a.因为|a|b|2，所以OAB 为正三角形，所以OAB6
11、0ABC，即 ab 与 a 的夹角 60.因为|a|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形，所以 OCAB，所以COA906030，即 ab 与 a 的夹角 30，所以 90.方法技巧(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出(2)特别地，a 与 b 的夹角为，1a 与 2b(1，2 是非零常数)的夹角为 0，当 120 时，0.跟踪探究 2.已知|a|b|，且 a 与 b 的夹角为 120，求 ab 与 a 的夹角，ab 与a 的夹角解析：如图，作OA a，OB b，AOB120，以OA，OB 为邻边作平行四边形OACB，则
12、OC ab，BA ab.|a|b|，平行四边形 OACB 为菱形OC 与OA 的夹角AOC60，BA 与OA 的夹角即为BA 与BC 的夹角ABC30.ab 与 a 的夹角为 60，ab 与 a 的夹角为 30.课后小结1对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现
13、了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决素养培优1不擅于利用方程思想分解向量典例 在ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 的中点，AN AB AC，则 的值为()A.12 B.13 C.14 D1易错分析 此题不能设出向量的分解式，且不能利用三点共线的性质，导致无解或错解自我纠正 解析 M 为边 BC 上任意一点，可设AM xAB yAC(xy1)N 为 AM 的中点，AN 12AM 12xAB 12yAC AB AC.12(xy)12.答案 A2不能正确分解向量致错典例 如图所示，OMAB，点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP xOA yOB，则 x 的取值范围是_；当 x12时，y 的取值范围是_易错分析 不理解如何将OP 分解到OA 与OB 上，而找不清系数 x 与 y 的取值自我纠正 解析 由题意得OP aOM bOB(a，bR，0b0)由a0，得 x(，0)又由OP xOA yOB，知 0 xy1.当 x12时，有 012y1，解得12y32，即 y12，32答案(，0)12，32课时 跟踪训练
