1、丘成桐：经典分析：数学和文学的比较很多人会觉得我今日的讲题有些奇怪，中国文学与数学好像是风马牛不相及，但我却讨论它。其实这关乎个人的感受和爱好，不见得其他数学家有同样的感觉，“如人饮水，冷暖自知”。每个人的成长和风格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的关系。我幼受庭训，影响我至深的是中国文学，而我最大的兴趣是数学，所以将两者做一个比较，对我来说是相当有意义的事。 数学与文学之源于自然 数学之为学，有其独特之处，它本身是寻求自然界真相的一门科学，但数学家也如文学家般天马行空，凭爱好而创作，故此数学可说是人文科学和自然科学的桥梁。 数学家研究大自然所提供的一切素材，寻找它们共同的规律。这里所说的大自然
2、比一般人所了解的来得广泛，我们认为数字、几何图形和各种有意义的规律都是自然界的一部分，我们希望用简洁的数学语言将这些自然现象的本质表现出来。 大略言之，数学家以其对大自然感受的深刻肤浅，来决定研究的方向，这种感受既有其客观性，也有其主观性，后者则取决于个人的气质。气质与文化修养有关，无论是选择悬而未决的难题，或者创造新的方向，文化修养皆起着关键性的作用。因为人文知识也致力于描述心灵对大自然的感受，所以司马迁写史记除了“通古今之变”外，也要“究天人之际”。 刘勰在文心雕龙原道篇说，文章之道在于“写天地之辉光，晓生民之耳目。” 刘勰以为文章之可贵，在尚自然，在贵文采。他又说：“人与天地相参，乃性灵
3、所集聚，是以谓之三才，为五行之秀气，实天地之灵气。灵心既生，于是语言以立。语言既立，于是文章着明，此亦原于自然之道也。” 历代的大数学家如阿基米德如牛顿莫不以自然为宗，见物象而思数学之所出，即有微积分的创作。费尔玛和尤拉对变分法的开创性发明，也是由于探索自然界的现象而引起的。 广义相对论提出了场方程，它的几何结构成为几何学家梦寐以求的对象，因为它能赋予空间一个调和而完美的结构。我研究这种几何结构垂30年，时而迷惘，时而兴奋，自觉同诗经、楚辞的作者，或晋朝的陶渊明一样，与大自然浑为一体，自得其趣。 捕捉大自然的真和美，实远胜于一切人为的造作，正如文心雕龙说的：“云霞雕色，有踰画工之妙。草木菁华，
4、无待锦匠之奇，夫岂外饰，盖自然耳。” 在空间上是否存在满足引力场方程的几何结构是一个极为重要的物理问题，它也逐渐地变成几何中伟大的问题。尽管其他几何学家都不相信它存在，我却锲而不舍，不分昼夜地去研究它，就如屈原所说：“亦余心之所善兮，虽九死其犹未悔。” 我花了5年工夫，终于找到了具有超对称的引力场结构，并将它创造成数学上的重要工具。当时的心境，可以用以下两句来描述：“落花人独立，微雨燕双飞。” 数学的文采 数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则，甚至在自然界中发挥作用。我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学
5、界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东蓠下，悠然见南山”的意境。 从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、来布尼兹的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一件文学创作。 文学家为了达到最佳意境的描述，需要追究“僧推月下门”与“僧敲月下门”的区别。数学家为了创造美好的理论，也不必依随大自然的规律，只要逻辑推导没有问题，就可以尽情地发挥想像力。 文学与数学的赋比兴 然而文章终究有高下之分，大致来说，好的文章“比兴”的手法总会比较丰富。 中国古诗十九首，作者年代不详，但大家都认为是汉
6、代的作品。刘勰说：“比采而推，两汉之作乎。”这是从诗的结构和风格进行推敲而得出的结论。在数学的研究过程中，我们亦利用比的方法去寻找真理。我们创造新的方向时，不必凭实验，而是凭数学的文化涵养去猜测去求证。 举例而言，30年前我提出一个猜测，断言三维球面里的光滑极小曲面，其第一特征值等于二。当时这些曲面例子不多，只是凭直觉，利用相关情况模拟而得出的猜测。最近有数学家写了一篇文章证明这个猜想。其实我的看法与文学上的比兴很相似。 我们看洛神赋：“翩若惊鸿，婉若游龙。荣曜秋菊，华茂春松。髣髴兮若轻云之蔽月，飘飘兮若流风之回雪。”由比喻来刻划女神的体态。 我一方面想像三维球的极小曲面应当是如何的匀称，一方
7、面想像第一谱函数能够同空间的线性函数比较该有多妙，通过原点的平面将曲面最多切成两块，于是猜想这两个函数应当相等，同时第一特征值等于二。 当时我与卡拉比教授讨论这个问题，他也相信这个猜测是对的。旁边我的一位研究生问为什么会做这样的猜测，不待我回答，卡教授便微笑说这就是洞察力了。 伟大的数学家远瞩高瞻，看出整个学问的大流，有很多合作者和跟随者将支架建立起来，解决很多重要的问题。正如曹雪芹创造红楼梦时，也是一样，全书既有真实，亦有虚构；既有前人小说如西厢记、金瓶梅、牡丹亭等的踪迹，亦有作者家族凋零、爱情悲剧的经验，通过各种不同人物的话语和生命历程，道出了封建社会大家族的腐败和破落。红楼梦的写作影响了
8、清代小说垂200年。 数学家看事物的多面性 由于文学家对事物有不同的感受，同一事或同一物可以产生不同的吟咏。例如对杨柳的描述,温庭筠写“柳丝长，春雨细”吴文英写“一丝柳，一寸柔情，料峭春寒中酒”李白写“年年柳色，灞陵伤别。”周邦彦写“柳阴直，烟里丝丝弄碧，隋堤上，曾见几番，拂水飘绵送行色长亭路，年去岁来，应折柔条过千尺。”晏几道写“舞低杨柳楼心月，歌尽桃花扇底风。” 对事物有不同的感受后，往往通过比兴的方法另有所指，例如“美人”有多重意思，除了指美丽的女子外，也可以指君主：屈原九章：“结微情以陈词兮，矫以遗夫美人。”也可以指品德美好的人，诗经邶风：“云谁之思，西方美人。”苏轼赤壁赋：“望美人兮
9、天一方。” 数学家对某些重要的定理，也会提出很多不同的证明。例如勾股定理的不同证明有10个以上，等周不等式亦有五六个证明，高斯则给出数论对偶定律六个不同的看法。不同的证明让我们可以从不同的角度去理解同一个事实，往往引导出数学上不同的发展。 对空间中的曲面，微分几何学家会问它的曲率如何，有些分析学家希望沿着曲率方向来推动它一下看看有甚变化，代数几何学家可以考虑它可否用多项式来表示，数论学家会问上面有没有整数格点。这种种主观的感受由我们的修养来主导。 反过来说，文学家对同一事物亦有不同的歌咏，但在创作的工具上，却有比较统一的对仗韵律的讲究，可以应用到各种不同的文体。从数学的观点来说，对仗韵律是一种
10、对称，而对称的观念在数学发展至为紧要，是所有数学分枝的共同工具。另外，数学家又喜欢用代数的方法来表达空间的结构，同调群乃是重要的例子，由拓朴学出发而应用到群论、代数、数论和微分方程学上去。 数学的意境 王国维在人间词话里说：“词以境界为最上。有境界则自成高格有造境，有写境，此理想与写实两派之所由分。然两者颇难分别，因大诗人所造之境必合乎自然，所写之境亦必邻于理想故也。有有我之境，有无我之境。泪眼问花花不语，乱红飞过秋千去。有我之境也。采菊东蓠下，悠然见南山。无我之境也。有我之境，以我观物，故物皆着我之色彩。无我之境，以物观物，故不知何者为我，何者为物无我之境，人唯乎静中得之。有我之境，于由动入
11、静时得之，故一优美，一宏壮也。自然之物互相关系，互相限制。然其写之于文学及美术中也，必有其关系限制之处。故虽写实家亦理想家也。又虽如何虚构之境，其材料必求之于自然，而其构造亦必从自然之法律。故虽理想家亦写实家也。” 数学研究当然也有境界的概念，在某种程度上也可谈有我之境、无我之境，当年尤拉开创变分法和推导流体方程，由自然现象引导，可谓无我之境，他又凭自己的想像力研究发散级数，而得到zeta函数的种种重要结果，开300年数论之先河，可谓有我之境矣。另外一个例子是法国数学家Grothendick，他著述极丰，以个人的哲学观点和美感出发，竟然不用实例，建立了近代代数几何的基础，真可谓有我之境矣。 在
12、几何的研究中，我们发现狄拉克在物理上发现的旋子在几何结构中有魔术性的能力，我们不知道它的内在的几何意义，它却替我们找到几何结构中的精髓，在应用旋子理论时，我们常用的手段是通过所谓消灭定理而完成的，这是一个很微妙的事情，我们制造了曲率而让曲率自动发酵去证明一些几何量的不存在，可谓无我之境矣。以前我提出用Einstein结构来证明代数几何的问题和用调和映像来看研究几何结构的刚性问题也可作如是观。 不少伟大的数学家，以文学、音乐来培养自己的气质，与古人神交，直追数学的本源，来达到高超的意境。文心雕龙神思：“文之思也，其神远矣。故寂然凝虑，思接千载；悄然动容，视通万里。吟咏之间，吐纳珠玉之声，眉睫之前
13、，卷舒风云之色，其思理之致乎。” 数学的品评 好的工作应当是文已尽而意有余，大部分数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年后始见其功。 我曾经用一个崭新的方法去研究调和函数，以后和几个朋友一同改进了这个方法，成为热方程的一个重要工具。开始时没有得到别人的赞赏，直到最近5年大家才领会到它的潜力。然而我们还是锲而不舍地去研究，觉得意犹未尽。 我的老师陈省身先生在他的文集中引杜甫诗“文章千古事，得失寸心知。”而杜甫就曾批评初唐四杰的作品“王杨卢骆当时体，不废江河万古流。” 数学华丽的作品可从泛函分析这种比较广泛的学问中找到，虽然有其美丽和重要性，但与自然之
14、道总是隔了一层。举例来说，从函数空间抽象出来的一个重要概念叫做巴拿赫空间，在微分方程学中有很重要的功用，但是以后很多数学家为了研究这种空间而不断地推广，例如有界算子是否存在不变空间的问题，确是漂亮，但在数学大流上却未有激起任何波澜。 数学的演化 数学的演化和文学有极为类似的变迁。从平面几何至立体几何，至微分几何等等，一方面是工具得到改进，另一方面是对自然界有进一步的了解，将原来所认识的数学结构的美发挥尽至后，需要进入新的境界。上面谈到的高维拓朴文气已尽，假使它能与微分几何、数学物理和算术几何组合变化，亦可振翼高翔。 当一个大问题悬而未决的时候，我们往往以为数学之难莫过于此。待问题解决后，前途豁
15、然开朗，看到比原来更为灿烂的火花，就会有不同的感受。 其实，科学家对自然界的了解，都是循序渐进，在不同的时空自然会有不同的感受。有学生略识之无后，不知创作之难，就连陈省身先生的大作都看不上眼，自以为见识更为丰富，不自见之患也。人贵自知，始能进步。 庄子：“今尔出于崖涘，观于大海，乃知尔丑，尔将可与语大理矣。”我曾经参观德国的葛庭根大学，看到19世纪和20世纪伟大科学家的手稿，他们传世的作品只是他们工作的一部分，很多杰作都还未发表，使我深为惭愧而钦佩他们的胸襟。今人则不然，大量模仿，甚至将名作稍为改动，据为己有，尽快发表。或申请院士，或自炫为学术宗匠，于古人何如哉。 数学家的感情 为了达到深远的
16、效果，数学家需要找寻问题的精华所在，需要不断地培养我们对问题的感情和技巧，这一点与孟子所说的养气相似。气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。 白居易说：“圣人感人心而天下和平，感人心者，莫先乎情，莫始乎言，莫切乎声，莫深乎义未有声入而不应，情交而不感者。” 严羽沧浪诗话：“盛唐诸公唯在兴趣，羚羊挂角，无迹可求。故其妙处透澈玲珑，不可凑拍，如空中之音，相中之色，水中之影，镜中之象，言有尽而意无穷。” 我的朋友Hamilton先生，他一见到问题可以用曲率来推动，他就眉飞色舞。另外一个澳洲来的学生，见到与爱因斯坦方程有关的几何现象就赶快找寻它的物理意义，兴奋异常，因此他们的文章都是清纯可
17、喜。反过来说，有些成名的学者，文章甚多，但陈陈相因，了无新意。这是对自然界、对数学问题没有感情的现象，反而对名位权利特别重视。为了院士或政协委员的名衔而甘愿千里仆仆风尘地奔波，在这种情形下，难以想像他们对数学、对自然界有深厚的感情。 数学的感情是需要培养的，慎于交友才能够培养气质。博学多闻，感慨始深，堂庑始大。欧阳修：“人间自是有情痴，此恨不关风与月。”“直须看尽洛城花，始与东风容易别。”能够有这样的感情，才能够达到晏殊所说：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。” 浓厚的感情使我们对研究的对象产生直觉，这种直觉看对象而定，例如在几何上叫做几何直觉。好的数学家会将这种直觉写出来，有时可以用来
18、证明定理，有时可以用来猜测新的命题或提出新的学说。 本报记者陈骥整理 与大师一起互动 问：我是一名小学生，我应该如何学好数学？ 主持人刘克峰：我的建议就是不要参加奥数班，应该找一个好老师，就像我找到丘先生这样的好老师，还有就是再找一本好书，而不是奥数的习题集。 丘成桐：首先要对数学有兴趣，还要用功。 问：我是大学数学系的学生，我看到很多身边的同学花很多时间做题，您认为做题是否是增强数学能力的途径？ 丘成桐：做题很重要，但我认为做题的比例应该在1/2左右，起码不要超过2/3学习时间。应该有1/2的时间来看书，想问题。习题是成功必须要做的事情，但还有习题之外的事情也要做好。 问：您认为数学和文学哪
19、个更美？他们是否有不同的美？ 丘成桐：数学和文学都很美，数学是讲逻辑的科学，美得很有文采，也很真实，而且是不能改变的；文学中，比如李煜、屈原的诗词，感情丰富的程度是数学的论证不能达到的。数学的美是永恒的，在任何情况下都成立，文学的美比较主观，却也是无限制的。 问：对一个高中学生来说，有什么可以推荐的数学读物？ 主持人刘克峰：我建议高中生多读一些传记。有一本介绍数学家契尔伯特的传记，记录了他的成长经历，他与朋友相处的很多经验，很值得我们学习。另外一本是我最近在读的牛顿传，很有启发，书中说到牛顿在大学一年级二年级的时候，在笔记中写了三四十个问题，这些问题促进了他以后的研究。都反映了他对科学探索的欲望。还有一本是我和丘先生一起编的数学与数学人，里面有一些关于陈省身先生的生活、研究的几个侧面，对我们很有启发，我们还会连续出版。
