1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 五十四椭圆的概念及其性质30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018上海高考)设P是椭圆+=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A.2B.2C.2D.4【解析】选C.因为a=,故由椭圆定义知P到两焦点的距离之和为|PF1|+|PF2|=2a=2.2.(2019北京高考)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【解析】选B.离心率平方e2=,即4(a2-b2)=a2
2、,即3a2=4b2.3.已知椭圆+=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9【解析】选B.由左焦点为F1(-4,0)知c=4.又a=5,所以25-m2=16,解得m=3或-3.又m0,所以m=3.4.(2020大理模拟)设椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.在RtPF2F1中,令|PF2|=1,因为PF1F2=30,所以|PF1|=2,|F1F2|=.故e=.5.设F为椭圆+=1(ab0)的右焦点,过F作x轴的垂线交椭圆于点P,点A,B分别为椭圆的右
3、顶点和上顶点,O为坐标原点,若OAB的面积是OPF面积的倍,则该椭圆的离心率为()A.或B.或C.或D.或【解析】选D.由A(a,0),B(0,b),F(c,0),P,得SOAB=ab,SOPF=,则ab=,故2a2=5cb,即4a4-25a2c2+25c4=0,解得e=或.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020遵义模拟)已知圆(x-2)2+y2=1经过椭圆+=1(ab0)的一个顶点和一个焦点,则此椭圆的离心率e=_.【解析】圆(x-2)2+y2=1经过椭圆+=1(ab0)的一个顶点和一个焦点,故椭圆的一个焦点为(1,0),一个顶点为(3,0),所以c=1,a=3,因此椭圆的离心率为
4、.答案:7.(2019浙江高考)已知椭圆+=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方,若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是_.【解析】设线段PF的中点为M,右焦点为F1.方法一:由题意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4,设P(x,y),可得(x-2)2+y2=16,联立方程+=1,可解得x=-或x=(舍),点P在椭圆上且在x轴的上方,求得P,所以kPF=.方法二:焦半径公式应用由题意可知|OF|=|OM|=c=2,由中位线定理可得|PF1|=2|OM|=4,即a-exP=4xP=-,求得P,所以kPF=.答案:8.
5、已知椭圆+=1与x轴交于A,B两点,过椭圆上一点P(x0,y0)(P不与A,B重合)的切线l的方程为+=1,过点A,B且垂直于x轴的垂线分别与l交于C,D两点,设CB,AD交于点Q,则点Q的轨迹方程为_.【解析】由椭圆+=1,可得A(-3,0),B(3,0).把x=-3代入切线l的方程+=1,可得y=,即C,把x=3代入切线l的方程+=1,可得y=,即D.可得直线CB的方程为y=(x-3),直线AD的方程为y=(x+3),相乘可得y2=-(x2-9),由于P在椭圆上,可得+=1.即有9-=.代入可得,+y2=1(x3).答案:+y2=1(x3)三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在平
6、面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程.(2)若F1CAB,求椭圆离心率e的值.【解析】设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以|BF2|=a.又|BF2|=,故a=,即a2=2.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC
7、垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1CAB,所以=-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2,故e2=.因此e=(负值舍去).10.(2017北京高考)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:BDE与BDN的面积之比为45.【解析】(1)因为焦点在x轴上,所以a=2,e=,所以c=,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设D(x0,0),(-
8、2x00,直线AM的方程是y=(x+2),因为DEAM,所以kDE=-,直线DE的方程是y=-(x-x0),直线BN的方程是y=(x-2),直线BN与DE直线联立整理为:(x-x0)=(x-2),即(-4)(x-x0)=(x-2),即(-4)(x-x0)=(x-2),解得xE=,代入求得yE=-=-y0,所以=,又因为=,所以BDE和BDN的面积之比为45.20分钟40分1.(5分)(2020百色模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=()A.B.C.D.【解析】选D.椭圆+=1中,a=5,b=3,c=4,故A(-4,0)和C(4,
9、0)是椭圆的两个焦点,所以|AB|+|BC|=2a=10,|AC|=8,由正弦定理得=.2.(5分)已知椭圆+=1(ab0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且F1AB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则+的取值范围为()A.1,2B.,C.,4D.1,4【解析】选D.由已知得2b=2,故b=1.因为F1AB的面积为,所以(a-c)b=,所以a-c=2-,又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,所以a=2,c=,所以+=,又因为2-|PF1|2+,所以1+4.即+的取值范围为1,4.3.(5分)(2019泰州模拟)已知点F,A分别是椭圆C:+=1的左
10、焦点和上顶点,若点P是椭圆C上一动点,则PAF周长的最大值为_.【解析】设椭圆右焦点为F2,椭圆C:+=1,a=4,由椭圆的定义|PF|+|PF2|=2a=8,|AF|+|AF2|=2a=8,所以PAF的周长为|AF|+|PF|+|PA|AF|+|PF|+|PF2|+|AF2|=4a=16,当且仅当AP过点F2时PAF的周长取最大值16答案:164.(5分)(2020南宁模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与椭圆交于A,B的两点,且AF2x轴.若P为椭圆上异于A,B的动点,且SPAB=4,则该椭圆的离心率为_.【解析】根据题意,因为AF2x轴且F2(c,
11、0),假设A在第一象限,则A,过B作BCx轴于C,则易知AF1F2BF1C,由SPAB=4得|AF1|=3|BF1|,所以|AF2|=3|BC|,|F1F2|=3|CF1|,所以B,代入椭圆方程得+=1,即25c2+b2=9a2,又b2=a2-c2,所以3c2=a2,所以椭圆的离心率e=.答案:5.(10分)已知椭圆E:+=1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率.(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.【解析】(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-
12、bc=0,则原点O到该直线的距离d=,由d=c,得a=2b=2,解得离心率e=.(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|= |x1-x2|= =.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为x2+4y2=12,即+=1.6.(10分)已知椭圆C的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点E.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F1的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若=,且2b0),则解得所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)根据题意可设直线l的方程为y=k(x+1)(k0),联立方程,得消去x,得y2-y-9=0,=+1440.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,又=,所以y1=-y2.把代入得y1=,y2=,并结合可得y1y2=,则=,即+-2=.因为23,所以+-2,即0,解得0k.故直线l的斜率k的取值范围是.关闭Word文档返回原板块
